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Geometria Analítica

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Considerando os planos π1: ax + by + 4z - 1 = 0 e π2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos sejam paralelos é, respectivamente:

A) 3 e -5.
B) 1 e -5
C) 6 e -10
D) -6 e 10
E) -5 e 3
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Progresso com Exercícios

há 12 meses

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2 Planos e retas
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ESTÁCIO EAD

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há 12 meses

Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais. Os planos dados são: - π1: \( ax + by + 4z - 1 = 0 \) (vetor normal: \( (a, b, 4) \)) - π2: \( 3x - 5y - 2z + 5 = 0 \) (vetor normal: \( (3, -5, -2) \)) Para que os planos sejam paralelos, deve haver uma constante \( k \) tal que: \[ (a, b, 4) = k(3, -5, -2) \] Isso nos dá as seguintes equações: 1. \( a = 3k \) 2. \( b = -5k \) 3. \( 4 = -2k \) Da terceira equação, podemos resolver para \( k \): \[ k = -2 \] Substituindo \( k \) nas outras equações: 1. \( a = 3(-2) = -6 \) 2. \( b = -5(-2) = 10 \) Portanto, os valores de \( a \) e \( b \) que fazem os planos serem paralelos são, respectivamente, \( -6 \) e \( 10 \). A alternativa correta é: D) -6 e 10.

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Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano a, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta entre a reta r e o plano a:

A A reta r é paralela ao plano a
B A reta r é perpendicular ao plano a
C A reta r está contida no plano a
D A reta r intercepta o plano a em um único ponto
E A reta r e o plano a são coincidentes

Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.

A r ∩ α = { 12 , 12 , −1 }
B r ∩ α = { 12 , 12 , 1 }
C r ∩ α = { −12 , 12 , −1 }
D r ∩ α = { −12 , −12 , −1 }
E r ∩ α = { −12 , 12 , 1 }

O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até mesmo a estética urbana. Considere as retas r1: {x = 3+ t, y = t, z = −1−2 t} e r2: {x + 2 − 2 = y − 3 = 2} como as equações de reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:

A 30º.
B 45°
C 60°
D 90°
E 120°

Sejam o plano π: ax + by + cz + d = 0 e o plano μ: 2x + y − z + 2 = 0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de (a + b + c + d), com a, b, c e d reais.

A 0
B 1
C 2
D 3
E 4

Determine o ponto de interseção da reta r: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩x = 1+ γy = 2−2 γz = 5−3 γ com o plano 2x-y+z-3=0.

A) I(-1,6,11).
B) I(1,-6,-11).
C) I(6,6,11).
D) I(-1,-6,-11).
E) I(-11,6,1).

Considerando os planos π1: 2x - y + z - 1 = 0 e π2: x - 12y + 12z - 9 = 0, assinale o correto sobre a posição relativa dos planos π1 e π2.

A) Paralelos concorrentes
B) Paralelos coincidentes
C) Paralelos distintos
D) Paralelos reversos
E) Transversais

Determine a distância entre o plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o ponto P(1,1,1).

A) 5 √ 17
B) 4 √ 17
C) 3 √ 17
D) 2 √ 17
E) √ 17

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