Para resolver essa questão, vamos considerar a matriz \( A \) que transforma os vetores dados. Seja \( A \) uma matriz \( 2 \times 2 \) que leva o vetor \( (1,1) \) em \( (3,3) \) e o vetor \( (2,2) \) em \( (5,5) \). Podemos escrever isso como: 1. \( A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \) 2. \( A \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \) Vamos representar a matriz \( A \) como: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] A partir da primeira equação: \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b \\ c + d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \] Isso nos dá as equações: 1. \( a + b = 3 \) 2. \( c + d = 3 \) Agora, da segunda equação: \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 2b \\ 2c + 2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \] Isso nos dá: 1. \( 2a + 2b = 5 \) → \( a + b = 2.5 \) 2. \( 2c + 2d = 5 \) → \( c + d = 2.5 \) Agora temos um sistema de equações que não é consistente, pois \( a + b \) não pode ser simultaneamente 3 e 2.5. Portanto, não existe uma matriz \( A \) que satisfaça ambas as condições. Assim, a resposta correta é: D) Não existe essa matriz A.