Listas, Testes e Provas - Alg Linear II

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ExerciciosALII
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Sistemas de equações são problemas constituídos por um conjunto
de variáveis e um conjunto de restrições a essas variáveis; as restrições
são representadas por equações. A solução do sistema é o conjunto de
valores das variáveis que satisfazem simultaneamente a todas as
restrições, ou equações. 
Deve-se pensar um sistema de equações como um problema onde as
equações são as informações que se deve utilizar para descobrir o valor
das variáveis, que por essa razão também são denominadas de
incógnitas. 
A regra geral para esse tipo de problema é que devem existir tantas
informações quanto incógnitas para que o problema tenha uma solução e
esta seja única. Se houver mais variáveis que equações , o problema pode
ter várias soluções, visto que com menos restrições que variáveis, é um
problema mais flexível. Por outro lado, se houver mais restrições que
incógnitas (mais equações que variáveis), o problema pode não ter
solução, pois pode ser um problema muito estrito.
Não obstante, duas restrições podem exigir coisas incompatíveis, e o
problema não terá solução; ou podem exigir a mesma coisa, diminuindo
o número de restrições genuínas.
Utilize esse raciocínio e analise os sistemas abaixo sem fazer muitas
contas, apenas observe o número de variáveis e o número efetivo de
restrições.
1) Classifique os problemas abaixo com respeito a possuírem solução
única, não possuírem solução, ou possuírem infinitas soluções.
A) B) C) D)
E) F) G) H)
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2) Escreva um sistema de 3 equações e 2 variáveis que:
 A) Possui infinitas soluções
 B) Não possui solução
 C) Possui apenas uma solução
3) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações e
assinale a alternativa correta:
 I - Se possui mais variáveis que equações, então sempre possui
solução.
 I I - Se possui mais equações que variáveis, então sempre possui
solução
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
4) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações com
número igual de equações e variáveis e assinale a alternativa correta:
 I - Se possui equações repetidas, então sempre possui infinitas
soluções.
 I I - Se todas as equações são distintas, então possui solução única.
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
Sistemas de equações equivalentes são aqueles que possuem as
mesmas soluções.
Uma equação gerada por uma combinação não-nula de outras
equações do sistema é uma equação redundante. Adicionar equações
redundantes a um sistema não altera a sua solução. Substituir uma
equação original por uma equação redundante também não altera a
solução, desde que a equação original tenha participado efetivamente da
geração da equação redundante; ou seja, a equação redundante
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geração da equação redundante; ou seja, a equação redundante
adicionada precisa reter a informação original no sistema.
Mais uma vez, sistemas de equações equivalentes são aqueles que
possuem as mesmas soluções.
5) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema
:
A) B) C) D) 
E)
6) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema
:
A) B) C) D)
E)
Nem sempre é simples decidir visualmente se uma equação é
gerada por outras, ou se é incompatível com outras. Faz-se necessário
utilizar uma metodologia eficiente que funcione em todos os casos. O
escalonamento é uma técnica de resolução de sistemas que revela as
relações de redundancia e incompatibilidade entre as equações de um
sistema. Iremos estudar o escalonamento nas próximas seções, mas,
antes, é imperativo saber enxergar os sistemas através de suas matrizes
aumentadas, e vice-versa.
7) Escreva as matrizes aumentadas dos seguintes sistemas de
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7) Escreva as matrizes aumentadas dos seguintes sistemas de
equações:
A) B) C) D) 
E) F) G)
8) Escreva os sistemas correspondentes às seguintes matrizes
aumentadas:
A) B) C)
 O escalonamento é um método milenar que transforma o sistema de
equações em um sistema triangular equivalente , ou seja, um sistema mais
fácil de resolver e que possui as mesmas soluções que o sistema original.
Nesse processo, as informações redundantes ou incompatíveis são
reveladas e as soluções, caso existam, são obtidas pela técnica de
substituição sucessiva. 
9) Resolva os sistemas abaixo utilizando o escalonamento das
equações:
A) B) C) 
D) 
10) Utilize o escalonamento para simplificar as matrizes aumentadas
abaixo e resolver os sistemas correspondentes:
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A) B) C)
D) E) F)
11) Em cada sistema abaixo, a última equação é uma combinação das
anteriores. Encontre os coeficientes dessas combinações:
A) B) C)
12) Seja S um sistema com 3 equações tal que a segunda equação é
múltiplo da primeira e a terceira é incompatível com a segunda. Seja R
uma forma escalonada de S , obtida sem trocar linhas, verifique as
afirmativas abaixo:
 I ) A segunda equação de R é nula
II) A terceira equação de R é nula 
13) Seja S um sistema com 4 equações tal que a primeira equação é
múltiplo da segunda e a quarta é combinação da segunda e da terceira.
Seja R uma forma escalonada de S , obtida sem trocar linhas, verifique as
afirmativas abaixo:
 I ) A primeira equação de R é nula
II) A quarta equação de R é nula 
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COMBINAÇÕES LINEARES E O PRODUTO MATRIZ-
VETOR
Combinar vetores é gerar novos vetores através das operações
básicas de soma e multiplicação por número. O vetor resultante de uma
combinação de vetores é denominado de vetor gerado. A combinação de
vetores é o procedimento mais frequente da Álgebra Linear. Apesar de
simples, todos os conceitos dependem da definição de combinação, que
mais à frente veremos por que é chamada de combinação linear.
1) Assinale abaixo as igualdades que são possíveis para algum
número K, onde a, b e c representam números não-nulos:
A) K(1,a) = (2,0) B) K(a,0) = (2,4) C) K(1,2) = (2,3)
D) K(1,0,3) = (2,4,6) E) K(1,0,2,3) = (2,0,4,6) F) K(1,1,1,1) = (a,b,0,c)
2) Assinale abaixo as combinações de vetores que são possíveis para
algum valor de K e de L, onde a, b e c representam números não-nulos:
A) K(1,0) +L(0,1) = (2,3) B) K(1,0) + L(2,0) = (2,3) 
C) K(1,0) + L(1,1) = (2,3) D) K(1,0,0) + L(1,1,0) = (a,b,c) 
E) K(1,0,0) + L(1,1,1) = (a,b,0) F) K(1,1,0) + L(1,1,1) = (a,0,0)
Multiplicar uma matriz por um vetor é combinar as colunas da
matriz de acordo com os coeficientes do vetor. Entender esse resultado e
saber aplicá-lo é fundamental para o estudo da Álgebra Linear. Nos
exercícios seguintes não perca tempo apenas fazendo contas de somar e
multiplicar e não utilize a fórmula da multiplicação matriz-vetor. 
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3) Faça as multiplicações matriz-vetor abaixo fazendo as combinações
das colunas das matrizes:
A) ? B) ? C) ?
D) ? E) ?
Quando você multiplica uma matriz por um vetor formado apenas
de 1´s, o resultado deve ser a soma das colunas da matriz; certo? E se o
vetor possuir apenas 0´s, com exceção de um 1 na segunda entrada, você
consegue perceber que o resultado da multiplicação matriz-vetor deve
ser a segunda coluna da matriz? E se ao invés do número 1, for o número
-2?
4) Calcule a multiplicação Av, onde:
 e 
A) B) C) D)
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O exercício abaixo mostra que nem sempre é possível combinar
vetores e gerar um outro. Tente descobrir porque isso acontece. Esse
resultado possui profunda conexão com o fato que alguns sistemas
de equações não possuem solução, pois sempre é possível escrever
um sistema linear na forma de um produto matriz x vetor.
5) Encontre números x e y tais que as igualdades abaixo sejam
verdadeiras e observe as conexões com os sistemas de equações e os
produtos matriz x vetor ao lado.
 
A) ou ou
B) ou ou
C) ou ou 
D) ou ou 
E) Qual o sistema correspondente?F) Qual o sistema correspondente?
G) Qual o sistema correspondente?
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H) Qual o sistema correspondente?
6) Classifique em V ou F as afirmativas abaixo sobre um sistema de
equações S :AX=b:
 I ) A solução de S são os vetores que serão combinados para gerar o
vetor b
II) A solução de S são os coeficientes da combinação de vetores que
gera o vetor b
7) Escreva os sistemas de equações abaixo na forma matricial AX = b e
indique, sem resolvê-los, quais possuem solução. Justifique.
A) B) C) 
D) E) F)
8) Considere abaixo os sistemas representados pelas suas matrizes
aumentadas. Tente resolvê-los mentalmente fazendo as devidas
combinações das colunas das matrizes:
A) B) C) D)
E) F) G)
H) I)
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9) Considere os sistemas representados abaixo pelas suas matrizes
aumentadas. Tente identificar visualmente aqueles que possuem várias
soluções e os que não possuem solução:
A) B) C) D)
E) F) H)
Algumas conclusões óbvias, porém necessárias, sobre um sistema
AX = b:
a. Se as colunas de A geram o vetor b, então o sistema tem solução.
b. Se as colunas de A geram o vetor b de várias formas, então o sistema
tem várias soluções.
Seguem as perguntas óbvias, cujas respostas não são evidentes, que
serão estudadas mais à frente:
a. Quando é que as colunas de A geram qualquer vetor b?
b. Quando é que as colunas de A geram um vetor b de várias formas?
Mesmo sem as respostas acima, é óbvio que o sistema terá solução
se existir uma forma regular de encontrá-la, como, por exemplo, nos
sistemas cuja matriz de coeficientes é triangular (o que é isso?), sem
nenhum elemento nulo na diagonal; a solução pode ser encontrada
por substituição sucessiva das variáveis. Veja o exercício abaixo:
10) Quais sistemas abaixo possuem solução, e quais possuem solução
única? Classifique-os através de suas expressões matriciais:
A) B) C)
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D) E) 
F) G) H) 
I) J ) 
11) Escreva as expressões matriciais dos sistemas abaixo. Note que a
substituição sucessiva ainda funciona, porém já não é mais tão simples
detectar se existem inconsistências:
A) B) C) 
12) Um sistema de equações nas variáveis x,y e z possui a seguinte
matriz ampliada:
Troque colunas e escalone a matriz acima com apenas uma operação
elementar. Assinale os valores de x,y e z abaixo que resolvem o sistema.
Faça a combinação linear das colunas da matriz ampliada e cheque que
sua resposta está correta:
A) 3, 1 e 1
B) 3, 2 e -1
C) 1, 3 e 2
D) -1, 2 e 3
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MATRIZES SÃO FUNÇÕES (TRANSFORMAÇÕES )
LINEARES
Uma matriz A, mxn, é uma função linear de em , leva
combinações linares em combinações lineares. Uma vez que saibamos
seus valores em uma base qualquer de , saberemos seus valores em
qualquer outro vetor de .
1) Seja A uma matriz que leva o vetor (1,1,1) no vetor (1,1,1,1,1). Quais
as dimensões de A?
 A) 3x5 B)3x3 C)5x3 D)5x5
2) Se Ae1 = (1,2), Ae2 = (3,4) e X = (2,3), assinale o vetor AX:
 A) (16,11) B) (11,16) C) (4,6) D) (6,4)
3) Sejam x1 = (1,2,2), x2 = (2,4,3). Sabendo que Ax1 = (2,2,2) e Ax2 =
(2,1,2), assinale o vetor que é a terceira coluna de A:
 A) (1,1,0) B) (2,3,2) C) (4,3,4) D) (3,6,5)
4) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (1,2,1).
Em qual vetor é levado o vetor (3,1)?
 A) (1,1,2) B)(3,4,3) C) (2,3,2) D) Não existe essa matriz
5) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (2,2,2).
Em qual vetor é levado o vetor (2,0)?
 A) (-1,-1,-1) B)(0,0,0) C) (1,2,3) D) Não existe essa matriz
6) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (0,1) em (4,6) e (3,4),
respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:
 A)9 B)10 C)11 D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
7) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (2,2) em (3,3) e (5,5),
respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:
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 A)4 B)6 C)8 D) Não existe essa matriz A
8) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0) em (3,3) e
(2,2), respectivamente. Assinale o elemento da primeira linha que está na
primeira coluna:
 A)10 B)11 C)12 D) Não é possível descobrir o valor de 
9) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0) em (6,15) e
(3,9). Assinale a soma de todos os componentes da terceira coluna de A:
 A)9 B)10 C)11 D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
10) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (1,-1) em (4,4,10,14) e
(-2,2,0,0). Assinale a soma de todos os componentes da primeira coluna de
A:
A)14 B)15 C)16 D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
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Unicidade de soluções de sistemas de equações
Nos exercícios seguintes investigaremos quando um sistema de
equações possui apenas uma solução. É o que chamamos de unicidade.
Aexistência de soluções é uma outra questão e será tratada mais adiante.
Por enquanto, veremos que a unicidade de soluções está intimamente
ligada ao conceito de independencia linear, que também estudaremos
logo abaixo.
1) Sejam Z1 e Z2 soluções do sistema homogêneo S: AX= 0.
Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) Z1 + Z2 também é solução de S
II) 2Z1 + 3Z2 também é solução de S
2) Sejam u,v e w vetores n x 1 tais que w = u+v e A é uma matriz mxn
qualquer.
Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) A(u+v-w) = 0 
I I ) Pelo menos um dos vetores Au, Av ou Aw tem que ser nulo
 
3) Considere as matrizes abaixo. Encontre, se houver, uma
combinação anuladora não-trivial (o quê?) das colunas das matrizes
abaixo, i.e., encontre X não-nulo tal que AX = 0: 
A) B) C) D)
4) Seja Z uma solução não-nula do sistema homogêneo AX = 0 e sejam
X1 e X2 soluções do sistema AX = b. Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) X1 + X2 também é solução do sistema AX = b
II) X1 + 5Z também é solução do sistema AX = b
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5) Seja Z não-nulo tal que AZ = 0. Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) Existe um vetor X, não nulo e diferente de Z, tal que AZ = X
II) Existem infinitos vetores X tal que AX = 0
6) Considere os sistemas de equações AX = b, para as matrizes A e b
abaixo. Quais deles possuem mais de uma solução?
 A) B) 
 C) D) 
 E) F) 
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Independencia Linear
Costumamos dizer informalmente que um vetor é independente de
outro se não for um múltiplo dele. E também que um vetor é
independente de outros dois se não for combinação deles. De forma
geral, dizemos que um vetor é independente de uma coleção de outros
vetores se não puder ser gerado por eles através de uma combinação. A
expressão completa é linearmente independente, pois o conceito é o da
Independência Linear, o termo “linear” será debatido mais à frente.
De toda forma, a independencia linear é um conceito de associação,
um vetor nunca é linearmente independente, ou linearmente
dependente, por si só, mais precisamente, é uma categoria que se aplica a
conjuntos de vetores. Vimos também que o escalonamento encontra
relações de dependencia entre as equações de um sistema, ou seja, entre
as linhas da matriz aumentada desse sistema. Ele é igualmente utilizado
para encontrar as relações de dependencia entre vetores.
Utilize o escalonamento para resolver alguns dos exercícios abaixo;
outros possuem respostas óbvias; identifique uns e outros.
1) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes do
vetor (1,2):
A) (0,0) B) (2,4) C) (-1,-2) D) (1,1) 
E) (2,1) F) (111,222) G) (111,111)
2) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores (1,1) e (2,2):
 A) (3,3) B) (1,1) C) (0,0) D)(1,2)
 E) (111,111) F) (111,111.01)
3) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores (1,2) e (2,1):
A) (3,3) B) (1,2) C) (0,0) D) (2,1) 
E) (6,6) F) (111,113)
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4) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores (1,2,1) e (2,1,1):A) (3,3,3) B) (3,3,2) C) (1,-1,0) D) (2,1,2) E) (1,1,1) 
5) Verifique as afirmativas abaixo:
 I - Qualquer vetor não nulo é linearmente independente do vetor
nulo.
 I I - O vetor nulo é linearmente dependente de qualquer vetor.
6) Verifique as afirmativas abaixo sobre dois vetores u, v, não nulos:
 I - Se u é linearmente dependente de v, então v é linearmente
dependente de u.
 I I - Se u é linearmente independente de v, então u+v nunca se anula.
7) Verifique as afirmativas abaixo sobre vetores u, v e w quaisquer:
 I - Se w é gerado por u e v, então v é gerado por u e w.
 I I - Se w é gerado por u e v, então o vetor nulo pode ser gerado por
u,v e w de forma não trivial.
 
8) Verifique as afirmativas abaixo sobre vetores u,v e w, onde w é
combinação de u e v:
 I - Todo vetor gerado por u,v e w é gerado por u e w.
 I I - Todo vetor gerado por u,v e w é gerado por u e v.
9) Seja {V1,V2,…,Vn} um conjunto de vetores não-nulos e os
conjuntos de números {a1,a2,…,an} , onde todos os números podem ser
nulos, e {b1,b2,…,bn} , onde pelo menos um número é não-nulo. Podemos
afirmar que:
 I ) Se a1V1+a2V2+…+anVn = 0 , então um dos vetores é linearmente
dependente dos demais. 
I I ) Se b1V1+b2V2+…+bnVn = 0 , então um dos vetores é linearmente
dependente dos demais. 
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Intuitivamente, um conjunto de vetores é dito Linearmente
Independente, ou L.I ., se todos os seus vetores são linearmente
independentes dos demais. É convencional dizer que os vetores são
linearmente independentes, mas essa convenção não funciona para
conjuntos unitários, em particular para o caso do conjunto formado
apenas pelo vetor nulo, C={vetor nulo}.
Melhor é definir que um conjunto é Linearmente Dependente se
existir alguma combinação não-trivial anuladora entre os seus vetores.
Caso não exista nenhuma, o conjunto é dito LI.
10) Verifique as afirmativas abaixo:
 I ) O vetor nulo é LD
II) O conjunto {(1,0,0),(0,0,0)} é LD
11) Verifique as afirmativas abaixo sobre a matriz A que satisfaz:
 I ) As duas colunas de A são diferentes de (0,0)
II ) As colunas de A formam um conjunto LI
12) Verifique as afirmativas abaixo sobre as matrizes A e B que
satisfazem:
 e 
 I ) A matriz A pode ser não-nula
II) A matriz B pode ser não-nula
 
13) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes, onde a e b são números reais quaisquer:
A) {(1,0),(0,1),(10,20)} B) {(1,1),(1,-1)} C) {(1,1),(1,-1),(2,2)}
D) {(1,2),(2,4),(3,6)} E) {(1,2),(2,-4),(a,b)} F) {(1,1),(1,-1),(a,b)}
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14) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes:
A) {(1,2,3),(2,4,6),(1,1,1)} B) {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}
C) {(-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)} D) {(1,2,1),(1,-1,2),(2,-1,-1)}
E) {(1,0,1,-2),(2,1,-2,-1),(3,-1,0,-2),(2,-2,1,-1)}
15) Verifique as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I ) Se Ax = 0 para algum x não-nulo, então as colunas de A são LD.
II) Se Ax = 0 para algum x não-nulo, então as colunas de A podem ser
LI ou LD, dependendo de x.
 
16) Dadas as equações x+y+z+w = 1 e x-y+z-w=1, assinale as equações
abaixo que são independentes dessas duas:
A) 3x+y+3z+w = 3 
B) x-3y+z-3w = 1 
C) x+y+2z+w = 1 
D) x-2y+2z-2w = 1
17) Considere os sistemas indeterminados abaixo e encontre uma
equação que pode ser adicionada que os torna de solução única:
A) x+y = 1 B) C) D)
E) F)
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1
Segunda Lista de Exercícios
Exercícios sobre Sistemas de Equações e Escalonamento
Sistemas de equações são problemas constituídos por um conjunto
de variáveis e um conjunto de restrições a essas variáveis; as restrições
são representadas por equações. A solução é o conjunto de valores das
variáveis que satisfazem simultaneamente a todas as restrições; ou
equações.
A regra geral é que devem existir tantas restrições quanto variáveis
para que o sistema tenha uma solução e esta seja única. Se houver mais
variáveis que restrições (equações), o problema pode ter várias soluções,
Se houver mais restrições que variáveis, o problema pode não ter
solução.
Não obstante, duas restrições podem exigir coisas incompatíveis, e o
problema não terá solução; ou podem exigir a mesma coisa, diminuindo
o número de restrições genuínas.
Analise os simples sistemas abaixo sem fazer muitas contas.
1) Classifique os problemas abaixo com respeito a possuírem solução única, não
possuírem solução, ou possuírem infinitas soluções.
A) B) C) D)
E) F) G) H)
2) Escreva um sistema de 3 equações e duas variáveis que:
 A) Possui infinitas soluções
 B) Não possui solução
 C) Possui apenas uma solução
2
3) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações e assinale a
alternativa correta:
 I - Se possui mais variáveis que equações, então sempre possui solução.
 II - Se possui mais equações que variáveis, então sempre possui solução
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
4) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações com número
igual de equações e variáveis e assinale a alternativa correta:
 I - Se possui equações repetidas, então sempre possui infinitas soluções.
 II - Se todas as equações são distintas, então possui solução única.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e II é falsa
 D) II é verdadeira e I é falsa
Sistemas de equações equivalentes são aqueles que possuem as
mesmas soluções.
Uma equação gerada por uma combinação linear de outras é sempre
uma equação redundante. Adicionar equações redundantes a um
sistema, não altera o seu conjunto-solução. Substituir uma equação
original por uma equação redundante também não altera o conjunto-
solução, desde que a equação original tenha participado efetivamente da
geração da equação redundante.; ou seja, a equação redundante mantém
a informação original no sistema.
Substituir uma equação por outra que contém a informação da
equação original, também não. 
 Faça os exercícios abaixo e justifique verbalmente se as mudanças
realizadas mantêm o mesmo conjunto de variáveis e restrições do
sistema original.
3
5) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema :
A) B) C) D) 
E)
6) Assinale os sistemas abaixo que são equivalentes ao sistema :
A) B) C) D)
E)
Nem sempre é simples decidir visualmente se uma equação é
gerada por outras, ou se é incompatível com outras. Faz-se necessário
utilizar uma metodologia eficiente que funcione em todos os casos. 
O escalonamento é uma técnica que resolve sistemas lineares de
equações através de suas matrizes aumentadas. Através dele, pode-se
revelar as relações de redundancia e inconsistencia entre as equações de
um sistema.
Para isso, é fundamental saber enxergar os sistemas através de suas
matrizes aumentadas, e vice-versa.
7) Escreva as matrizes aumentadas dos seguintes sistemas de equações:
A) B) C) D) 
4
E) F) G)
8) Escreva os sistemas correspondentes às seguintes matrizes aumentadas:
A) B) C)
9) Considere abaixo os sistemas representados pelas suas matrizes aumentadas.
Tente resolvê-los mentalmente fazendo as devidas combinações das colunas das
matrizes:
A) B) C) D)
E) F) G)
H) I)
10) Considere os sistemas representados abaixo pelas suas matrizes
aumentadas. Tente identificar visualmente aqueles que possuem várias soluções e os
que não possuem solução:
A) B) C) D)
E) F) H)
5
11) Considere o sistema S descrito pela sua matriz aumentada:
. Considere o novo sistema S’= MS, obtido da multiplicação
pela esquerda por uma matriz M, 2x2. Assinale abaixo as matrizes M tais que S e S’
possuem as mesmas soluções, isto é, sejam equivalentes:
A) B) C) D)
E) F) G) H)
12) Utilize o escalonamento para simplificar as matrizes aumentadas abaixo e
resolver os sistemas correspondentes:
A) B) C)
D) E) F)
13) Um sistema de equações nas variáveis x,y e z possui a seguinte matriz
ampliada:
Troque colunas e escalone a matriz acima com apenas uma operação elementar.
Assinale os valores de x,y e z abaixo que resolvem o sistema. Faça a combinação
linear das colunas da matriz ampliada e cheque que sua resposta está correta:
A) 3, 1 e 1
B) 3, 2 e -1
C) 1, 3 e 2
D) -1, 2 e 3
6
14) Em cada sistema abaixo, a última equação é uma combinação das anteriores.
Encontre os coeficientes dessas combinações:
A) B) C)
1
Terceira Lista de Exercícios
Exercícios sobre Espaços Vetoriais e Conjuntos
Geradores
1) Assinale abaixo os conjuntos que são subespaços vetoriais de :
A) O Conjunto Solução de Ax=0
B) O Núcleo de uma matriz A
C) A Imagem de uma matriz A
D) O Conjunto Solução de Ax=b
2) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto de triplas
ordenadas C = {(a,b,1)| a e b são reais} juntamente com as operações:
(a,b,1) + (c,d,1) = (a+b,c+d,1) e k(a,b,1) = (ka,kb,1).
 I ) Não existe elemento neutro para a soma acima definida
 I I ) Não vale a propriedade distributiva para as operações acima
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
3) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto C = {(x,y)|x+y=0},
juntamente com as operações tradicionais de soma e multiplicação por
escalar:
 I ) <C,+,.> é um espaço vetorial
 I I ) <C,+,.> é um subespaço vetorial de R2
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
2
 D) I I é verdadeira e I é falsa
4) Seja S o espaço gerado pelos vetores (1,2) e (2,4), então:
A) S = <(1,2),(4,2)>
B) S = <(1,0),(2,0)>
C) S = <(2,1)>
D) S = <(2,4)>
5) Seja S o espaço gerado pelos vetores (1,2,3) e (4,5,6), então:
A) S = <(1,2,3),(4,-3,-6)>
B) S = <(1,2,3),(0, 1, 2)>
C) S = <(1,2,3),(0, 3,-6)>
D) S = <(1,2,3),(0,-1, 2)>
6) Assinale o conjunto-solução do sistema linear abaixo:
A)S = <(1,2)> 
B)S = <(2,4)> 
C)S = <(2,1)> 
D)S = <(1,-2)>
7) Assinale o conjunto-solução do sistema linear abaixo:
A)S = <(2,1,0)> 
B)S = <(2,0,-1)> 
C)S = <(1,2,0)> 
D)S = <(1,0,-2)>
3
Exercícios sobre Independencia Linear
Um vetor é linearmente independente de outro se não for um
múltiplo dele.
Um vetor é linearmente independente de outros dois se não for
combinação linear deles.
De forma geral, um vetor é linearmente independente de um
conjuntode outros vetores se não puder ser gerado por eles através de
uma combinação linear.
Um vetor nunca é linearmente independente, ou linearmente
dependente, por si só.
8) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes do
vetor [1,2]:
A) [0,0] B)[2,4] C)[-1,-2] D)[1,1] E) [2,1] F)[111,222] G)[111,111]
9) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores [1,1] e [2,2]:
A) [3,3] B)[1,1] C)[0,0] D)[1,2] E) [111,111] F)[111,111.01]
10) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos
vetores [1,2] e [2,1]:
A) [3,3] B)[1,2] C)[0,0] D)[2,1] E) [6,6] F)[111,113]
11) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I - Qualquer vetor não nulo é linearmente independente do vetor
nulo.
 I I - O vetor nulo é linearmente dependente de qualquer vetor.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
4
12) Considere as afirmativas abaixo sobre vetores u, v, não nulos:
 I - Se u é linearmente dependente de v, então v é linearmente
dependente de u.
 I I - Se u é linearmente independente de v, então u+v nunca se anula.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
13) Considere as afirmativas abaixo sobre vetores u, v e w quaisquer e
assinale a alternativa correta:
 I - Se w é gerado por u e v, então v é gerado por u e w.
 I I - Se w é gerado por u e v, então o vetor nulo pode ser gerado por
u,v e w de forma não trivial.
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
Intuitivamente, um conjunto de vetores é dito
Linearmente Independente, ou L.I ., se todos os seus vetores são
linearmente independentes dos demais. É convencional dizer que os
vetores são linearmente independentes, mas essa definição é
furada para o caso C={vetor nulo}.
Melhor é definir que é Linearmente Dependente se
existir alguma combinação não-trivial anuladora entre os seus vetores.
Caso não exista nenhuma, o conjunto é dito LI.
5
14) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I ) O vetor nulo é LD
II) O conjunto {(1,0,0),(0,0,0)} é LD
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
15) Considere as afirmativas abaixo sobre a matriz A que satisfaz
e assinale a alternativa correta:
 I ) As duas colunas de A são diferentes de (0,0)
II ) As colunas de A formam um conjunto LI
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
16) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes, onde a e b são números reais quaisquer:
A){[1,0],[0,1],[10,20]} B){[1,1],[1,-1]} C){[1,1],[1,-1],[2,2]}
D){[1,2],[2,4],[3,6]} E){[1,2],[2,-4],[a,b]} F){[1,1],[1,-1],[a,b]}
17) Assinale abaixo os conjuntos de vetores que são linearmente
independentes:
A) {[1,2,3],[2,4,6],[1,1,1]} B) {[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]}
C) {[-1,1,1],[1,-1,1],[1,1,-1]} D) {[1,2,1],[1,-1,2],[2,-1,-1]}
E) {[1,0,1,-2],[2,1,-2,-1],[3,-1,0,-2],[2,-2,1,-1]}
6
Exercícios sobre Base e Dimensão
18) Qual dos vetores abaixo,juntamente com os vetores (2,1,1) e (1,2,1),
não forma uma base para o ?
A)(1,1,2) B)(1,0,-1) C)(0,2,2) D(2,-2,0) 
19) Encontre uma base para o espaço gerado pelo conjunto {(1,2,2,1),
(1,0,2,0),(0,2,0,1)}
20) Encontre uma base para o núcleo e a imagem das matrizes abaixo:
A) B) C)
21) O sistema linear Ax=b possui a solução geral (3+t,1+t,2+t). Quais as
dimensões do Núcleo e da Imagem de A, respectivamente:
A)1 e 3 B)2 e 3 C)1 e 2 D)2 e 1
22) Seja A uma matriz qualquer e R a sua forma escalonada.
Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
 I ) A dimensão da imagem de A é igual à dimensão da imagem de R
 I I ) A imagem de A é igual à imagem de R
Resolva os exercícios abaixo lembrando que um sistema linear Ax=b
possui solução se, e somente se, b for uma combinação linear das colunas
de A. 
23) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema linear de
equações S , cuja forma matricial é Ax=b:
 I - Se S tem solução, então b é linearmente dependente das colunas
de A
 I I - Se S não tem solução, então toda coluna de A é linearmente
7
 I I - Se S não tem solução, então toda coluna de A é linearmente
independente de b
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
24) Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema linear de
equações S , cuja forma matricial é Ax=b:
 I - Se S não tem solução, então todas as colunas de sua matriz
aumentada são linearmente independentes
 I I - Se S não tem solução, então todas as colunas de A são
linearmente independentes
 
 A) As duas são verdadeiras
 B) As duas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
25) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I ) Se Ax=0 para algum x não-nulo, então as colunas de A são LD.
II) Se Ax nunca se anula, qualquer que seja x não-nulo, então as
colunas de A podem ser LI ou LD.
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
26) Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta:
 I )O sistema linear possui solução qualquer que seja o
8
 I )O sistema linear possui solução qualquer que seja o
vetor 
I I )O sistema linear possui infinitas soluções
qualquer que seja o vetor 
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
27) Seja A uma matriz 4x3 tal que o sistema linear Ax=0 possui uma
solução não-nula. Assinale a alternativa verdadeira
A)O sistema Ax=b possui solução qualquer que seja o vetor 
B)O sistema Ax=b possui mais de uma solução qualquer que seja o
vetor 
C)O sistema Ax=b não possui solução única qualquer que seja o vetor
D)O sistema Ax=b não possui solução qualquer que seja o vetor b
não-nulo
Questões Extra
1) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto 
C = {(x,y)|x+y=1}, juntamente com as operações:
(a,b) + (c,d) = (a+b-1,c+d) e k(a,b) = (ka-k+1,kb)
 I ) <C,+,.> é um espaço vetorial
 I I ) <C,+,.> é um subespaço vetorial de R2
 A) Ambas são verdadeiras
9
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
2) Sejam . A imagem inversa de um vetor
 é o conjunto .Classifique em Verdadeira ou Falsa as
afirmações abaixo:
 I ) A imagem inversa de é um espaço vetorial.
 I I ) Se a dimensão do núcleo de A é 2, então a imagem inversa de é
sempre um plano.
3) Considere as afirmativas abaixo sobre o conjunto de triplas
ordenadas C = {(a,b,1)| a e b são reais} juntamente com as operações:
(a,b,1) + (c,d,1) = (a+b,c+d,1) e k(a,b,1) = (ka,kb,1).
 I ) O conjunto {(1,2,1), (2,4,1)} é LI
 I I ) O conjunto {(0,0,1),(1,1,1)} é LD
 A) Ambas são verdadeiras
 B) Ambas são falsas
 C) I é verdadeira e I I é falsa
 D) I I é verdadeira e I é falsa
1
LISTA 4
MATRIZES SÃO FUNÇÕES (TRANSFORMAÇÕES) LINEARES
Uma matriz A, mxn, é uma função linear de em .
Uma vez que saibamos seus valores em uma base qualquer
de , saberemos seus valores em qualquer outro vetor
de .
1) Um prédio retangular, cujo formato é definido pelos
pontos (0,0), (2,1), (1,3) e (-1,2), deve ser girado de 45 graus
no sentido anti-horário e dobrar de área. Calcule os novos
pontos que definem os lados do prédio.
2) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (0,1) em
(4,6) e (3,4). Assinale a soma de todos os componentes de A:
A) 9 B) 10 C)11 
D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
3) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (2,2) em
(3,3) e (5,5). Assinale a soma de todos os componentes de A:
A) 4 B)6 C)8 
D) Não existe tal matriz A
4) Seja Auma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0)
em (3,3) e (2,2). Assinale o elemento :
A) 10 B) 11 C) 12 
D) Não é possível descobrir o valor de 
5) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0)
em (6,15) e (3,9). Assinale a soma de todos os componentes da
terceira coluna de A:
A) 9 B) 10 C) 11 
D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
6) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (1,-1) em
(4,4,10,14) e (-2,2,0,0). Assinale a soma de todos os
componentes da primeira coluna de A:
A) 14 B) 15 C) 16
D) Não é possível descobrir o valor dessa soma
2
O TEOREMA DO NÚCLEO-IMAGEM PARA MATRIZES 
O Teorema do Núcleo-Imagem afirma que “as dimensões”
do espaço de partida de uma matriz A são repartidas
entre o Núcleo e a Imagem de A.
7) Seja A uma matriz 5x3 tal que dim(N(A)) = 2. Assinale o
valor de dim(Im(A)):
A)3 B)2 C)1 D)0
8) Seja um conjunto linearmente independente de R3 e
A uma matriz 3x3 tal que . Classifique em Verdadeira
ou Falsa as afirmações abaixo:
 I) 
 II) 
9) Construa uma matriz A que não seja injetiva, mas que seja
sobrejetiva.
10) Construa uma matriz A que não seja sobrejetiva, mas que
seja injetiva.
11) Sejam . A imagem inversa de um vetor
 é o conjunto . Classifique em Verdadeira ou
Falsa as afirmações abaixo:
 I) Se a dimensão do núcleo de A é k, então a imagem inversa
de é um espaço vetorial de dimensão k.
II) O Espaço é a união de cópias de N(A)
12) Considere um sistema linear Ax=b, onde A é mxn, m=n+1.
Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
 I) Se o núcleo de A é uma reta, então o sistema sempre
tem solução.
 II) Se o núcleo de A é um ponto, então o sistema sempre
tem solução.
13) Seja A uma matriz mxn, n > m e R, uma de suas versões
escalonadas. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas
3
escalonadas. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas
abaixo sobre um sistema linear Ax=b:
 I) O número de variáveis livres é igual a n-m
II) O número de linhas não nulas de R mais o número de
variáveis livres é igual a n.
MATRIZES E SEUS AUTOVETORES
Nem sempre é necessário fazer contas para encontrar
os autovalores e autovetores de uma matriz.
14) a)Uma matriz 2x2 projeta ortogonalmente qualquer vetor
na reta t(1,1) e depois duplica o tamanho do vetor projetado.
Encontre seus autovalores e autovetores.
 b)Faça o mesmo de acima considerando agora que a projeção
na reta t(1,1) é feita obliquamente na direção do vetor (1,0).
15) A é uma matriz que reflete vetores do pelo plano x-y:
A(x,y,z,w) = (x,y,-z,-w). Calcule seus autovalores e
autovetores.
16) Encontre um autovetor para as transformações lineares
abaixo, sem fazer contas, apenas escrevendo suas matrizes:
 A)T(x,y) = (2x+3y,3y) B) T(x,y,z) = (x+2z,3x+4y,5x+6z)
17) Seja uma transformação linear. Responda e dê
exemplos: O conjunto de autovetores de T pode ser:
A) Vazio? B) Todo o plano? C) Unidimensional? D) Duas retas?
18) Seja T(x,y) = (-y,x). T possui autovetores?
19) Seja A uma matriz tal que suas colunas são LD. Calcule
um autovalor para A. Justifique.
20) Seja A uma matriz 2x2 ou 3x3. Classifique em V ou F as
afirmativas abaixo:
 I) Se A não é injetiva, então Det(A) = 0.
II) Se A não é sobrejetiva, então Det(A) = 0.
21) Uma matriz A, 3x3, possui os autovalores 0, 1 e -1.
Classifique em V ou F as afirmativas abaixo:
 I) A projeta vetores em um plano de 
II) A reflete vetores por um plano de 
4
CÁLCULO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ
Se A possui um autovalor lambda, então a matriz (A -
lambda I) não é injetiva, pois leva um vetor não-nulo
no vetor nulo: ; logo, seu determinante é
zero.
22) Seja A = . Classifique em V ou F:
 I) Existe um vetor v, não-nulo, tal que Av tem o mesmo
tamanho de v
II) Existe um vetor v, não-nulo, tal que Av possui o sentido
oposto de v
23) Seja A uma matriz 2x2. Cheque que a soma dos elementos
da diagonal de A (o traço de A) é igual à soma dos autovalores
de A. Cheque também que o produto dos autovalores é igual ao
determinante de A.
24) Descreva as transformações lineares representadas pelas
matrizes abaixo:
 A) B) C) D) E) F)
G) H) I)
25) Calcule uma forma diagonal, , para as matrizes
abaixo:
A) B) C) D)
26) Escreva matrizes 2x2, não-diagonais, que possuem os
seguintes espectros:
A){1,0} B){1,2} C){1,-1} D){2}
27) Considere a matriz e o vetor v = (2,3).
5
27) Considere a matriz e o vetor v = (2,3).
Assinale o vetor :
A) B) C) D)
28) Considere a matriz . Assinale o :
A) A) A) A)
29) Considere a matriz . Assinale a matriz :
A) B) C) D)
Questões Extra
1) Calcule os autovetores e autovalores de uma matriz 3x3
que gira vetores de um ângulo teta em torno do eixo (1,1,1) e os
projeta ortogonalmente no mesmo eixo.
2) Seja A uma matriz 2x2 e v um vetor não-nulo tal que
quando aplicamos A em v duas vezes seguidas, obtemos o próprio
vetor v como resposta. Quais são os autovalores de A?
3) Uma matriz de Markov é aquela em que todos os elementos
são não-negativos e a soma dos elementos de qualquer coluna é
igual a 1. Seja A uma matriz de Markov 2x2, assinale as
respostas corretas:
A) 1 é sempre autovalor de A
B) O vetor (1,1) é sempre autovetor de A
C) O vetor (1,-1) é sempre autovetor de A
D) Det(A) é sempre maior que 1
6
E) Traço(A) é sempre maior que 1
F) Se a soma dos elementos do vetor v é igual a 1, então o
mesmo ocorre para Av.
4) Suponha que numa hipotética eleição, o candidato A perde
diariamente 40% de seus votos para o candidato B; e o candidato
B perde diariamente 50% de seus votos para o candidato A. No
primeiro dia, o candidato A possui 43% do total dos votos e o
candidato B possui 57%. Como ficará a distribuição de votos no
décimo dia? E no centésimo?
5) Escreva uma matriz A 2x2, sem nenhum elemento nulo, onde:
 A) A tenha autovalores iguais
 B) A tenha apenas um autoespaço de dimensão 1
 C) A não possua autovetores e o determinante de A seja
diferente de 1
 D) 
6) Sejam a e b números positivos. Mostre que se são
autovalores de , então são autovetores de A.
7) Resolva a equação diferencial ordinária ,
onde A é a matriz .
8)Suponha que na cidade do Rio de Janeiro apenas chove, ou
faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 80% de
chances de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias
chuvosos se sucedem com a probabilidade de 30%. Qual é a
probabilidade aproximada do dia 14 de Maio de 2016 ser
ensolarado?
A)7/9 B)8/9 C)2/3 D)5/9
1
Lista 5 
Exercícios com o Produto Interno de vetores
1) Deduza uma fórmula para os vetores (a,b) que
fazem um ângulo menor que 90 graus com o vetor (1,1)
2) Calcule um vetor v de tamanho 1(unitário) na
mesma direção do vetor u indicado:
A) u = (1,1) 
B) u = (1,1,0) 
C) u = (-1,-1,-1) 
3) Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações
abaixo:
A) O tamanho de um vetor é o produto interno de um
vetor consigo mesmo
B) A distancia entre dois vetores é o tamanho da
diferença entre eles
C) A distancia entre dois vetores determina o angulo
entre eles
D) O angulo entre dois vetores determina a distancia
entre eles
4) Seja u = Av. Classifique em Verdadeira ou Falsa
as afirmações abaixo:
A) Cada componente de u é o produto interno de v com
uma linha de A
B) Se tanto v quanto as linhas de A são vetores
unitários, então todas as componentes de u tem módulo
menor que 1
C) Se v é não-nulo e pertence à imagem de A, então u
nunca será o vetor nulo
D) Se v pertence ao núcleo de A, então u sempre será
o vetor nulo
5) Sejam u, v e w vetores em dimensão 3 e ortogonais
entre si.
Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações
abaixo: 
2
A) u+v é ortogonal a w
B) u-v é ortogonal a w
C) Qualquer combinação de u e v será ortogonal a w
D) u, v e w são linearmente independentes
6) Sejam v e w vetores do plano. Em qual situação o
vetor w-v é perpendicular a v?
7) Utilize um produto interno apropriado e calcule o
menor ângulo entre os vetores abaixo:
A) 
B) 
C) 
8) Classifique em Verdadeira ou Falsa:
I) Seja D, uma matriz diagonal 2x2, com autovalores
positivos,então define um produto interno
em R2
II) Quaisquer que sejam u e v, vetores do Rn, e A,
nxn, então 
9) Defina um produto interno onde (1,0) e (1,1)
façam um angulo menor que 45 graus. Existe algum
produto interno onde (1,0) e (0,1) não são ortogonais?
10) O que representa, em R3, a equação x+y=0?
A) Uma reta? B) Um plano? C) Um ponto? D) O conjunto
vazio?
11) Represente por um sistema linear homogeneo o
conjunto dos vetores no espaço tridimensional que são
perpendiculares ao vetor (1,1,1).
12) Represente por um sistema linear o conjunto dos
vetores no espaço tridimensional que são
3
vetores no espaço tridimensional que são
perpendiculares aos vetores (1,2,3) e (3,2,1).
13) Represente por um sistema linear o conjunto das
combinações lineares dos vetores (1,1,1) e (1,-1,1).
14) Escreva um conjunto de equações que representem
o plano em que é ortogonal aos vetores (1,0,1,1) e
(0,1,0,1).
15) Qual é o vetor na reta 3x-2y=0 mais próximo do
vetor(1,1)?
16) Qual vetor é a reflexão do vetor (1,1) pela reta
2x+3y=0?
17) Qual o vetor no plano determinado pelos vetores
(1,1,1) e (1,-1,1) é o mais próximo do vetor (1,2,3)?
18) Qual a reflexão do vetor (1,2,3) pelo plano
x+y+z=0?
19) Seja A uma matriz mxn.
A) Se m>n, então sempre existe um vetor m-
dimensional que é ortogonal à imagem de A
B) Se m<n, então sempre existe um vetor m-
dimensional que é ortogonal à imagem de A
C) Se m>n, então sempre existe um vetor n-
dimensional que é ortogonal ao núcleo de A
D) Se m<n, então sempre existe um vetor n-
dimensional que é ortogonal ao núcleo de A
20) Seja Ax = b um sistema linear. Classifique em
Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
I) Se o sistema não possui solução, então, qualquer
que seja o vetor x, os componentes do vetor u = Ax-b
são sempre maiores que 1.
II) Se o sistema não possui solução, então o vetor u
= Ax-b pode ser tão pequeno quanto se queira, basta
escolher o vetor x apropriado
4
21) Assinale abaixo o conjunto que é um espaço
vetorial de dimensão 2:
A) B) C) D)
22) V ou F:
A) Existe uma transformação linear que leva a reta
x+y=0 na reta x-y=0
B) Existe uma transformação linear que leva apenas a
reta x-y=0 na reta x+y=0 
C) Existe uma transformação linear que leva a reta
x+y=0 na reta x+y=1 
D) Existe uma transformação linear que leva a reta
x+y=1 na reta x+y=0 
 23) Escreva uma transformação linear T que:
 A) leva o R2 na reta 2x-y=0
 B) leva o R3 no plano x+y+z=0
 C) N(T) = {x=y} e Im(T) = {x=-y}
 D) N(T) = {x+y+z=0} e Im(T) = {x=-z}
1
Lista P4 
1) Seja S o sistema abaixo:
A) S possui solução única, quaisquer que sejam os
valores de a e b
B) S possui solução única para certos valores de a e
b
C) S possui várias soluções para alguns valores de a
e b
D) S nunca tem solução, quaisquer que sejam os
valores de a e b
2) Seja S o sistema abaixo, com a e b não-nulos:
A) S possui solução única
B) S possui solução única para certos valores de a e
b
C) S possui várias soluções para alguns valores de a
e b
D) S nunca tem solução, quaisquer que sejam os
valores de a e b, não-nulos
3) Seja S o sistema . Assinale a matriz A
tal que S tem solução apenas para alguns valores de a,b
e c:
A) B) C) D)
4) Calcule a solução geral dos sistemas abaixo. O
que você pode afirmar sobre a dimensão dos conjuntos
encontrados?
2
A) x-y+z=0 B) C) D) x-y+z=0 em 
5)Seja A mxn:
I) Se dim(N(A)) = 2 então Ax=b representa um plano
em 
II) Se dim(N(A)) = 1 então Ax=b representa uma reta
em 
5) Qual a dimensão do núcleo das matrizes abaixo:
A) B) C) D)
6) Qual a dimensão da imagem das matrizes abaixo:
A) B) C) D)
7) Assinale a matriz que possui o núcleo de maior
dimensão:
A) B) C) D)
8) Sejam A e B matrizes quadradas. Classifique em
Verdadeira ou Falsa:
 I) A união de N(A) com N(B) é um espaço vetorial
 II) A intersecção de N(A) com N(B) é um espaço
vetorial
III) N(AB) é um espaço vetorial
 IV) N(AB) = N(BA)
 
9) Assinale a matriz abaixo cujo núcleo representa
um plano em :
3
A) B) C)
10) Qual a probabilidade de resolver o sistema
 sabendo que a e b podem tomar apenas os
valores 1 ou 2?
A) 1 B) 1/8 C) 1/6 D) 1/4
11) Qual a probabilidade de resolver o sistema
 sabendo que a, b e c podem tomar apenas os
valores 1 ou 2?
A) 1 B) 1/8 C) 1/6 D) 1/4
12) Qual a probabilidade de resolver o sistema
 sabendo que a e b podem tomar apenas os
valores 1 ou 2?
A) 1 B) 1/8 C) 1/6 D) 1/4
Coordenadas e Mudança de bases
1) Calcule as coordenadas do vetor na base indicada:
A) v = (1,1) e 
B) v = (1,2,3) e 
C) e 
D) e 
4
2) Dadas as coordenadas nas bases acima, encontre o
vetor na base canônica apropriada:
A)
B)
C)
D)
3) Considere no plano cartesiano as bases
, e . Calcule a
matriz de mudança de base indicada:
A) B) C) D)
4) Considere a transformação linear T(x,y) =
(2x+y,x+3y) e seja v um vetor do plano cujas
coordenadas na base são dadas pelo vetor-
coluna . Assinale as coordenadas do vetor Tv na
base canonica:
A) B) C) D)
5) Considere a transformação linear T(x,y) = (2x,3y)
e seja v um vetor do plano cujas coordenadas na base
 são dadas pelo vetor-coluna .
Assinale as coordenadas do vetor Tv na base :
A) B) C) D)
6) Utilize matrizes de mudanças de base e calcule a
matriz na base canônica da projeção sobre a reta y=x
7) Calcule a matriz na base canônica da reflexão
pela reta y=x
5
8) Calcule a matriz que a partir das coordenadas de
um vetor v na base gera as coordenadas na
mesma base do vetor w resultante da rotação de 90
graus de v no sentido anti-horário.
Determinantes
1) Calcule o determinante das matrizes abaixo:
A) B) 
C) D)
2) Classifique em Verdadeira ou Falsa:
A) É possível calcular o determinante de qualquer
matriz A mxn
B) Se Det(A) = 0, então A é a matriz nula
C) Seja B a matriz obtida multiplicando uma coluna
de A por um número k, então det(B) = kdet(A)
D)
E) Det(AB) = Det(A) + Det(B)
F) 
3) Seja A uma matriz 4x4 tal que Det(A)=2 e B=2A.
Assinale o valor de Det(B):
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32
6
4) Seja A uma matriz quadrada. Classifique em
Verdadeira ou Falsa:
 I) Se o sistema Ax=b é indeterminado, então
Det(A)=0
II) Se Det(A)=0, então o sistema Ax=b pode não ter
solução
5) Seja A a matriz de reflexão por um plano de .
Assinale o valor de Det(A):
A)1 B)-1 C)0 D)2
6) Seja A uma matriz quadrada. Classifique em
Verdadeira ou Falsa:
 I) Se A é uma matriz de rotação, então Det(A)=1
 II) Se A é uma matriz de projeção, então Det(A)=0
III) Se A é uma matriz de reflexão, então Det(A)=-1
 IV) Se A é uma matriz de cisalhamento, então
Det(A)=0
7) A imagem do círculo unitário pela transformação
T(x,y)=(2x-2y,3x+2y) é uma elipse. Calcule a área dessa
elipse.
Autovetores e Diagonalização
1) Seja A uma matriz mxn. Classifique em Verdadeira
ou Falsa as afirmativas abaixo:
 A) Sejam u e v vetores distintos de . Então Au
e Av são vetores distintos de .
 B) Sejam u e v vetores distintos de . Então 
u e v são vetores distintos de .
 C) Sejam u e v vetores distintos de . Então u
e v são vetores distintos de .
2) Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas
abaixo:
 A) Se A e B são injetivas, então A+B é injetiva.
 B) Se A e B são sobrejetivas, então A+B é
7
 B) Se A e B são sobrejetivas, então A+B é
sobrejetiva.
 C) Se A e B são injetivas, então e são
sobrejetivas.
 D) Se A e B são sobrejetivas, então e são
injetivas.
3) Escreva uma matriz não-diagonal tal que a sua
inversa seja a sua transposta:
A) No caso 2x2
B) No caso 3x3
C) No caso 4x4
4) Escreva uma matriz não-diagonal A cujos
autovetores sejam ortogonais e tal que:
A) A seja 2x2 e seus autovalores sejam 1 e -2
B) A seja 3x3 e seus autovalores sejam 1,2 e -1
C) A seja 3x3 e seus autovalores sejam 1 e -1
D) A seja 3x3 e não possua uma base de autovetores
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 15 de Setembro de 2015
Primeiro Teste
1. Calcule o resultado do produto de matrizesabaixo:
[
2 1 −1 −1
] 
21 22 23
11 12 13
21 22 23
11 12 13

51 41 51 4152 42 52 42
53 43 53 43


1
2
−1
−1

(a) 21× 41 + 22× 42 + 23× 43
(b) 21× 51 + 22× 52 + 23× 53
(c) 11× 51 + 12× 52 + 13× 53
(d) 11× 41 + 12× 42 + 13× 43
2. Resolva o sistema de equações abaixo e assinale o
valor de z:
11x+ 9y + 11z = 24
13x+ 7y + 11z = 30
17x+ 7y + 11z = 38
(a) 1
(b) 4
(c) −2
(d) 5
3. Seja A uma matrix 3 × 2. Deseja-se construir uma
matriz M de forma que o produto C = MA seja uma
matriz 2× 2 satisfazendo:
i. A primeira linha de C é igual à soma da primeira
linha de A com a última linha de A;
ii. A segunda linha de C é igual à diferença entre a
primeira linha de A e a última linha de A;
Qual a soma de todos os elementos da matriz
M?
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 0
4. A soma de dois números é igual a a e a diferença
entre eles é igual a b. Assinale a alternativa correta
sobre este problema:
(a) Sempre tem uma única solução, quaisquer
que sejam os valores de a e b
(b) Sempre tem infinitas soluções, quaisquer que se-
jam os valores de a e b
(c) Pode não ter solução, dependendo dos valores de
a e b
(d) Pode ter uma solução, ou várias, dependendo dos
valores de a e b
5. Considere as afirmativas abaixo e assinale a resposta
correta:
I - A matriz identidade é invertível
II - A matriz nula é invertível
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) Ambas são verdadeiras
(c) Ambas são falsas
(d) II é verdadeira e I é falsa
6. (Questão Extra)
Sejam Am×n e Mm×m duas matrizes e ~b um vetor de
Rm. Sejam S o conjunto-solução de A~x = ~b e S′ o
conjunto-solução de MA~x = M~b.
(a) S ⊂ S′ quaisquer que sejam A, ~b e M .
(b) S′ ⊂ S quaisquer que sejam A, ~b e M .
(c) quaisquer que sejam A e ~b, S′ ⊂ S apenas se M
é invertível.
(d) quaisquer que sejam A e ~b, S ⊂ S′ apenas se M
é invertível.
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 20 de setembro de 2012
Primeiro Teste
1. Um sistema com mais equações do que variáveis pode
ter uma solução única.
(a) A afirmativa é verdadeira
(b) A afirmativa é falsa
(c) Não sei.
2. Existe uma única maneira de escrever a parametriza-
ção de uma reta em R3
(a) A afirmativa é falsa
(b) A afirmativa é verdadeira
(c) Não sei.
3. O conjunto de vetores {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 1,−1)}
é linearmente independente
(a) A afirmativa é verdadeira
(b) A afirmativa é falsa
(c) Não sei.
4. Considere os sistemas cujas matrizes aumentadas são:
A =




1 2 −7
1 −2 3
2 0 1
−1 −2 7




e
B =


1 0 0 2
2 0 0 4
0 1 0 3


(a) Os sistema A e B não possuem solução
(b) Os sistemas A e B possuem infinitas soluções
(c) O sistema A possui solução única e o sistema B
não possui solução
(d) O sistema A não possui solução e o sistema B
possui infinitas soluções
(e) Não sei.
5. Seja ax+by+cz = d uma equação cartesiana do plano
que passa pelos pontos {(1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1)}.
Podemos afirmar que o vetor (a, b, c) é paralelo a:
(a) (1, 0,−1)
(b) (1, 2, 1)
(c) (1, 1, 1)
(d) (1,−1, 0)
(e) Não sei.
6. Seja a forma escalonada de A~x = ~b dada abaixo:
[
A ~b
]
∼




1 2 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0




.
Pode-se afirmar que A(−1, 1, 0, 3) = ~b ?
(a) Não
(b) Sim
(c) Não sei.
7. Considere o seguinte sistema:



x1 + x2 − 3x3 = 1
x1 + x2 + x3 = 5
2x1 + 2x2 − 2x3 = 6
O conjunto solução
do sistema acima pode ser expresso por
(a) {(2, 1, 1) + t(0,−1, 1)|t ∈ R}
(b) {(4, 0, 1) + t(0,−1, 1)|t ∈ R}
(c) {(4, 0, 1) + t(−1, 1, 0)|t ∈ R}
(d) {(2, 1, 1) + t(−1, 1, 0)|t ∈ R}
(e) Não sei.
Nome: Teste 444, pág. 1
Gabarito 
Primeiro Teste 
Teste 444: 1A 2A 3B 4D 5C 6B 7C 
Segundo Teste 
Teste 344: 1D 2B 3D 4A 5A 6B 7A 
Terceiro Teste 
Teste 370: 1B 2B 3C 4A 5A 6D 7D 
Quarto Teste 
Teste 376: 1C 2D 3C 4D 5A 6A 7B 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos. Mário,
Milton, Monique e Umberto
Data: 11 de abril de 2013
Primeiro Teste
1. O sistema linear representado pela matriz aumentada




−1 −1 −1 1
3 3 2 1
1 2 1 −1
4 5 3 0




possui solução única.
A soma dos componentes do vetor solução é:
(a) −1
(b) 1
(c) −2
(d) 0
2. Quantos vetores linearmente independentes o con-
junto abaixo possui no total?
{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 4
3. Seja A uma matriz m× n. Se para todo b o sistema
A x = b tem sempre mais do que uma solução, então
(a) m < n
(b) m > n
(c) m = n
(d) depende de m
4. Sejam ~v e ~w tais que ~v 6= ~w e ~v 6= ~0. Assinale a
afirmativa FALSA:
(a) O conjunto {~v, ~w} é sempre linearmente in-
dependente.
(b) O conjunto de vetores {~v, ~w,~v + ~w} é sempre
linearmente dependente.
(c) O conjunto {~0} é linearmente dependente.
(d) O conjunto {~v} é sempre linearmente indepen-
dente.
5. Seja A uma matriz m × n. Sobre o sistema linear
A x = b, assinale a alternativa VERDADEIRA:
(a) Tem mais de uma solução somente se as
colunas de A forem linearmente depen-
dentes
(b) Tem mais de uma solução se as colunas de A
forem linearmente dependentes
(c) Tem uma única solução se as colunas de A forem
linearmente independentes
(d) Não tem solução se as colunas de A forem line-
armente dependentes
6. Uma pessoa dispõe de 100 moedas de ouro para com-
prar carneiros, bodes e porcos no total de 100 animais.
Cada um custa 1
2
, 1 1
3
, 3 1
2
moedas de ouro, respecti-
vamente. Sabendo que o número de porcos deve ser
o mínimo possível, mas não pode ser 0, qual a soma
de carneiros e bodes que ela poderá comprar?
(a) 95
(b) 96
(c) 97
(d) 98
Gabarito Pág. 1
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Má-
rio, Milton, Monique e Paulo
Data: 3 de setembro de 2013
Primeiro Teste
1. Determine quantos vetores são linearmente
independentes (LI) no conjunto abaixo,
{[
1 3
0 1
]
,
[
2 5
1 2
]
,
[
1 4
0 2
]
,
[
−2 −6
−1 −3
]}
(a) 3
(b) 4
(c) 2
(d) 1
2. O vetor (ln(2), e, π) pode ser gerado por uma combi-
nação linear dos vetores (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). A
soma dos coeficientes desta combinação linear é:
(a) ln(2)
(b) e
(c) π
(d) ln(2) + e+ π
3. Considere os sistemas equivalentes Ax = b1 e Bx =
b2,onde [B|b2] é a matriz obtida de [A|b1] após o
escalonamento de A. Assinale a afirmativa FALSA:
(a) O espaço gerado pelas colunas de A é igual
ao espaço gerado pelas colunas de B
(b) O espaço gerado pelas linhas de A é igual ao
espaço gerado pelas linhas de B
(c) O conjunto solução de Ax = 0 é igual ao de
Bx = 0
(d) O conjunto solução de Ax = b1 é igual ao de
Bx = b2
4. Considere o sistema linear representado pela matriz
aumentada




0 −2 −1 1
3 3 2 1
1 2 1 −1
4 5 3 0




.
A soma dos componentes do vetor solução é:
(a) 2
(b) 4
(c) 3
(d) 1
5. Considere Ax = b, onde A é m × 2, e seja Gx = c
a forma escalonada dessa equação. Sejam a1 e a2 as
colunas de A e g1 e g2 as colunas de G. Assinale a
afirmativa FALSA:
(a) 〈a1,a2〉 = 〈g1,g2〉
(b) Se b = αa1 + βa2 então c = αg1 + βg2
(c) Se b 6∈ 〈a1,a2〉 então c 6∈ 〈g1,g2〉
(d) Se a1 = αa2 então g1 = αg2
6. O sistema linear


1 4
2 5
3 6


[
x
y
]
= v
(a) Tem solução única dependendo de v
(b) Tem solução única para todo v
(c) Tem infinitas soluções dependendo de v
(d) Tem infinitas soluções para todo v
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães,
Mário de Oliveira, Milton Ramirez e Monique Car-
mona
Data: 26 de março de 2012
Primeiro Teste
1. Considere as afirmativas abaixo:
I Se a matriz A, 3×2, tem duas linhas linearmente
independentes, então o sistema linear Ax = b
sempre tem solução, qualquer que seja o vetor b
em R3.
II Se a matriz A formada pelos coeficientes de um
sistema linear Ax = b possui mais linhas do que
colunas, então o sistema nuncatem solução, visto
que o vetor b nem sempre pode ser representado
como uma combinação linear das colunas de A.
(a) Somente I é verdadeira.
(b) Somente II é verdadeira.
(c) Ambas são falsas.
(d) Ambas são verdadeiras.
(e) Não sei.
2. Qual ou quais dos conjuntos de vetores abaixo são
linearmente independentes?
I {(1,2,3,2),(2,1,2,1),(1,1,1,1),(0,-3,-2,-3)}
II {(1,-1,2,2),(2,1,2,1),(1,1,-1,1),(2,1,3,1)}
(a) Apenas II
(b) Apenas I
(c) Ambos
(d) Nenhum
(e) Não sei.
3. Três vetores coplanares em R3, v1 =


a11
a21
a31

, v2 =


a12
a22
a32

, v3 =


a13
a23
a33

 não podem gerar todo o es-
paço R3 porque, dado o vetor b =


b1
b2
b3


(a) A terceira coluna da matriz do sistema é combi-
nação linear das duas primeiras.
(b) o sistema


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




x1
x2
x3

 =


b1
b2
b3


pode ter mais do que uma solução.
(c) o sistema


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




x1
x2
x3

 =


b1
b2
b3


pode não ter solução.
(d) o vetor ~0 não é solução do sistema


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33




x1
x2
x3

 =


b1
b2
b3

.
(e) Não sei.
4. O sistema linear representado pela matriz aumentada




1 2 1 1
1 1 2 −3
1 0 −1 5
−1 1 2 −7




(a) admite uma única solução, cuja soma das coor-
denadas é 3.
(b) admite infinitas soluções.
(c) não admite nenhuma solução.
(d) admite uma única solução, cuja soma das coor-
denadas é -5.
(e) Não sei.
5. Considere as afirmativas:
I Sejam ~u,~v e ~w três vetores não nulos em R4 que
são vértices de um triângulo não degenerado. O
espaco gerado por ~u,~v e ~w é um espaco de di-
mensão 3.
II O conjunto das soluções (x, y, z, w) da equação
x+ y + z + w = 0 é um espaço de dimensão 3.
(a) Apenas I é verdadeira
(b) Ambas são verdadeiras.
(c) Apenas II é verdadeira.
(d) Ambas são falsas
(e) Não sei.
6. O conjunto de todas as soluções do sistema linear
x+ 2y − 4w = −1
z + 3w = 2
pode ser escrito como
(a) {(−1, 0, 2, 0) + r(−2, 1, 0, 0) + s(4,−2, 0, 0), r, s ∈ R}
(b) {(−1, 0, 2, 0) + r(−2, 1, 0, 0) + s(4, 0,−3, 1), r, s ∈ R}
(c) {(−1, 0, 2, 0) + (−2, 1, 0, 0) + (4, 0,−3, 1)}
(d) {(−1, 0, 2, 0), (−2, 1, 0, 0), (4,−2, 0, 0)}
(e) Não sei.
Nome: Teste 280, pág. 1
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 29 de Setembro de 2015
Segundo Teste
1. Considere as afirmativas abaixo sobre os sistemas
S : A~x = ~b e H: A~x = ~0 e assinale a resposta correta:
I - Se H tem solução única, então S tem
solução única
II - Se H tem várias soluções, então S tem
várias soluções
(a) Ambas são falsas
(b) Ambas são verdadeiras
(c) I é verdadeira e II é falsa
(d) I é falsa e II é verdadeira
2. Considere as afirmativas abaixo e assinale a resposta
correta:
I - {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (1,−1)} são bases
de R2
II - {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} é uma base de R3
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) Ambas são verdadeiras
(c) Ambas são falsas
(d) I é falsa e II é verdadeira
3. Quais das expressões abaixo representa a solução ge-
ral da equação x− 2y + 3z = 3?
(a) (5 + 2t− 3u, 1 + t, u),∀t, u ∈ R
(b) (3− t− 2u, t+ 2u, t+ u),∀t, u ∈ R
(c) (3− 3t+ 3u, 0, t− u),∀t, u ∈ R
(d) (3, 0, 0)
4. Determine a dimensão do conjunto gerado pelos veto-
res
(
1 2 −2 2
)
,
(
2 3 −5 6
)
,
(
2 3 −4 8
)
e
(
1 0 −3 10
)
:
(a) 4
(b) 2
(c) 3
(d) 1
5. Seja P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau me-
nor ou igual a dois, com as operações de soma e pro-
duto por um escalar usuais. Indique a opção correta.
(a) B = {x2, x+ 1, x− 1} é base de P2.
(b) B = {x2, x+ 1, 2x+ 2} é base de P2.
(c) B = {x+ 1, x− 1, 1} é base de P2.
(d) B = {x2 + 1, x2 − 1, 1} é base de P2.
6. (Questão Extra) Considere as seguintes afirmati-
vas:
I. O conjunto vazio não é base de nenhum subespaço
de Rn
II. Um subconjunto C de Rn é LI se nenhum de seus
vetores pertence ao espaço gerado pelos demais
(a) I é falsa e II é verdadeira
(b) I é verdadeira e II é falsa
(c) Ambas são verdadeiras
(d) Ambas são falsas
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Ma-
rio, Milton, Monique e Paulo
Data: 17 de setembro de 2013
Segundo Teste
1. Considere o conjunto de vetores em R2
S = {(x, y), x ∈ R e y ∈ R}, com as operações de
soma vetorial e multiplicação por escalar dadas por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2 − 1),
k(x, y) = (kx, ky).
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) A soma definida acima possui elemento
neutro
(b) (0, 0) 6∈ S
(c) S é um subespaço vetorial de R2
(d) S é um espaço vetorial
2. Assinale a solução geral do sistema linear represen-
tado pela matriz aumentada


1 3 1 1
0 1 3 1
0 0 0 0


(a) (6,−2, 1) + t(16,−6, 2)
(b) (6,−2, 2) + t(16,−6, 2)
(c) (−2, 1, 0) + t(8, 3, 0) + s(0, 0, 1)
(d) (−2, 1, 0)
3. Assinale o conjunto que não é um subespaço vetorial
de R3:
(a) {(x, y, z) ∈ R3|y = 4x+ 2}
(b) {(a, b, c) ∈ R3|4a+ 5b = 2c}
(c) {(x, y, z) ∈ R3|y = 4x− 5z}
(d) {(a, b, c) ∈ R3|b = 5c}
4. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em
R
3. A condição entre a, b, c para que (a, b, c) seja
uma combinação linear de u e v é dada por:
(a) 16a+ 10b− c = 0
(b) 2a− 3b+ 2c = 0
(c) a− b− 2c = 0
(d) 5a+ 3b+ c = 0
5. Seja S = {v1,v2, · · · ,vk} ⊂ R
n e seja
A =
[
v1 v2 · · · vk
]
a matriz cujas colunas são os vetores de S e seja
B =




v1
v2
· · ·
vk




a matriz cujas linhas são os vetores de S. Considere
as afirmativas:
I Se S é um conjunto gerador de Rn então escalo-
nando a matriz A não se obtém nenhuma linha
de zeros.
II Se S é um conjunto gerador de Rn então escalo-
nando a matriz B não se obtém nenhuma linha
de zeros.
(a) A afirmativa I é verdadeira e II é falsa
(b) A afirmativa I é verdadeira e II é verdadeira
(c) A afirmativa I é falsa e II é falsa
(d) A afirmativa I é falsa e II é verdadeira
6. Considere as seguintes bases de R3,
α = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
β = {(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}
Dado um vetor v ∈ R3 sejam [v]α e [v]β as coorde-
nadas de v nas bases α e β respectivamente. Se
[v]α =


1
1
1


calcule a soma das entradas de [v]β
(a) 1
(b) 3
(c) −3
(d) −4
7. Considere as afirmativas:
I O espaço vetorial U =
〈
x2 + 1, x+ 1, x2 + x+ 1
〉
possui dimensão
3.
II O espaço vetorial V =
〈[
1 1
1 1
]
,
[
1 0
0 1
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
1 0
1 1
]〉
possui
dimensão 4.
(a) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa
II é falsa
(b) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é
verdadeira
(c) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é falsa
(d) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é verda-
deira
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton, Mo-
nique
Data: 9 de outubro de 2012
Segundo Teste
1. Qual a dimensão do espaço gerado pelos vetores de
R
4 abaixo?
{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}
(a) 4
(b) 2
(c) 1
(d) 3
(e) Não sei.
2. Os vetores {(1, 1, 1), (1, 0, 1)} formam uma base para
o subespaço das soluções da equação x+ y − z = 0
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
3. Suponha que a forma escalonada de A~x = ~b é a dada
abaixo:
[
A ~b
]
∼




1 2 1 0 1
0 1 2 0 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0




.
Pode-se afirmar que
(a) A(−1, 1, 0, 3) = ~b
(b) A(1, 0, 3, 0) = ~0
(c) A(1, 0, 3, 0) = ~b
(d) A(−4, 4,−2, 6) = 2~b
(e) Não sei.
4. Considere a, b, c tais que (179, 373, 51, 41) =
a(11, 13, 0, 1)+b(13, 11, 17, 7)+c(17, 7, 17, 7). Pode-se
afirmar que a soma a+ b+ c é igual a
(a) 23
(b) 21
(c) 19
(d) 17
(e) Não sei.
5. A dimensão do núcleo de uma matriz M é sempre
maior do que zero se:
(a) M tem mais colunas do que linhas.
(b) M tem mais linhas do que colunas.
(c) M tem o mesmo número de linhas e colunas.
(d) As colunas de M formam um conjunto linear-
mente independente.(e) Não sei.
6. Se os vetores ~u,~v, ~w são linearmente independentes,
então os vetores ~u − ~v,~v − ~w, ~w + ~u são linearmente
independentes.
(a) A afirmativa é falsa.
(b) A afirmativa é verdadeira.
(c) Não sei.
7. Se os vetores ~u,~v, ~w são linearmente independentes,
então os vetores ~u − ~v,~v − ~w, ~w − ~u são linearmente
independentes.
(a) A afirmativa é falsa.
(b) A afirmativa é verdadeira.
(c) Não sei.
Nome: Teste 344, pág. 1
Gabarito 
Primeiro Teste 
Teste 444: 1A 2A 3B 4D 5C 6B 7C 
Segundo Teste 
Teste 344: 1D 2B 3D 4A 5A 6B 7A 
Terceiro Teste 
Teste 370: 1B 2B 3C 4A 5A 6D 7D 
Quarto Teste 
Teste 376: 1C 2D 3C 4D 5A 6A 7B 
 
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario,
Milton, Monique e Umberto
Data: 30 de abril de 2013
Segundo Teste
1. Considere o conjunto
S =
{
(x, y) ∈ R2, x ∈ R e y = 1
}
, com as operações
de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas
por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2,
y1 + y2
2
),
k(x, y) = (kx, y).
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) S é um espaço vetorial
(b) (0, 0) ∈ S
(c) S é um subespaço vetorial de R2
(d) {(0, 1), (1, 1)} é um conjunto LI em S
2. Considere a, b, c tais que (179, 373, 51, 41) =
a(11, 13, 0, 1)+b(13, 11, 17, 7)+c(17, 7, 17, 7). Pode-se
afirmar que a soma a+ b+ c é igual a
(a) 23
(b) 17
(c) 21
(d) 19
3. Quais das afirmações abaixo são FALSAS?
I. Um sistema com o mesmo número de equações
e de variáveis pode possuir infinitas soluções.
II. Um sistema com mais equações do que variáveis
pode ter uma solução única.
III. Um sistema com mais variáveis do que equações
nunca tem solução única.
IV. Um sistema com mais variáveis do que equações
pode não ter solução.
V. Um sistema com mais equações do que variáveis
sempre possui solução.
(a) (V)
(b) (I)
(c) (II ) e (III)
(d) (I), (II) e(IV)
4. Determine quantos vetores são linearmente indepen-
dentes no conjunto abaixo,
{[1,−2, 0,−1], [1,−4, 2,−1], [2,−2,−1,−3], [−1, 2,−2, 3]}
(a) 3
(b) 4
(c) 2
(d) 1
5. Assinale a solução geral do sistema linear represen-
tado pela matriz aumentada


1 3 2 1
0 1 2 1
0 0 0 0


(a) (2,−1, 1) + t(8,−4, 2)
(b) (2,−1, 2) + t(8,−4, 2)
(c) (−2, 1, 0) + t(4, 2, 0) + s(0, 0, 1)
(d) (−2, 1, 0)
6. Assinale o conjunto que é um subespaço vetorial de
R
3:
(a) {(x, y, z) ∈ R3|y = 4x− 4z}
(b) {(x, y, z) ∈ R3|y = 4x+ 1}
(c) {(a, b, c) ∈ R3|4a+ 4b = 8c+ 2}
(d) {(a, b, c) ∈ R3|b = 4c+ 3}
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton e
Monique
Data: 30 de outubro de 2012
Terceiro Teste
1. Considere a transformação linear T : R3 → R3 de-
finida por T (x, y, z) = (3 y + x, 3 z + 2x,−2 z − x).
Então,
(a) dim(Nuc(T )) = 3 e dim(Im(T )) = 3.
(b) dim(Nuc(T )) = 0 e dim(Im(T )) = 3.
(c) dim(Nuc(T )) = 1 e dim(Im(T )) = 3.
(d) dim(Nuc(T )) = 0 e dim(Im(T )) = 2.
(e) Não sei.
2. Assinale a alternativa correta:
(a) Toda transformação linear T : R2 → R3 que é
injetiva é sobrejetiva.
(b) Toda transformação linear T : R5 → R4 com
dim(Nuc(T )) = 1 é sobrejetiva.
(c) Existe uma transformação linear T : R3 → R7
tal que dim(Nuc(T )) = dim(Im(T )).
(d) Existe uma transformação linear T : R3 → R2
que é injetiva.
(e) Não sei.
3. O sistema linear A~x = ~b, A =




1 2 3
0 1 5
1 1 −2
1 0 −6




e
~b =




0
−3
3
5




, possui solução única, cuja soma das
entradas é
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) −1
(e) Não sei.
4. Assinale a transformação linear de
T : R3 → R4 cujo núcleo é dado pela solução do
sistema
{
y − z = 0
e cuja imagem é dada pela solução de



x− w = 0
y = 0
z = 0
(a) T (x, y, z) = (−y + z, 0, 0,−y + z)
(b) T (x, y, z) = (0,−x+ z,−x+ z, 0)
(c) T (x, y, z) = (x− y + z, 0, 0, x− y + z)
(d) T (x, y, z) = (x− y, 0, 0,−y + z)
(e) Não sei.
5. Seja A a matriz que representa a projeção ortogonal
de R2 na reta {(x, y) ∈ R2|(x, y) = t(1, 0), t ∈ R2}
seguida pela rotação de π/4 radianos no sentido anti-
horário. A soma dos elementos da diagonal de A é
(a)
√
2/2
(b) −
√
2
(c) −
√
2/2
(d)
√
2
(e) Não sei.
6. Assinale a alternativa FALSA.
(a) Um sistema linear homogêneo tem pelo menos
uma solução.
(b) Um sistema linear com mais equações do que
incógnitas pode possuir solução única.
(c) Um sistema linear com mais equações do que
incógnitas pode não ter solução.
(d) Um sistema linear pode ter apenas duas solu-
ções.
(e) Não sei.
7. Seja A =


2 2 1
2 1 1
1 2 1


A soma dos elementos da diagonal da matriz inversa
é
(a) 0
(b) 1
(c) 3
(d) 2
(e) Não sei.
Nome: Teste 370, pág. 1
Gabarito 
Primeiro Teste 
Teste 444: 1A 2A 3B 4D 5C 6B 7C 
Segundo Teste 
Teste 344: 1D 2B 3D 4A 5A 6B 7A 
Terceiro Teste 
Teste 370: 1B 2B 3C 4A 5A 6D 7D 
Quarto Teste 
Teste 376: 1C 2D 3C 4D 5A 6A 7B 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 5 de Novembro de 2015
Quarto Teste
1. Seja H = span {(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1)}.
Qual dos sistemas lineares abaixo tem conjunto-
solução igual a H?
(a)
[
1 −2 1 0
2 −3 0 1
]
~x = ~0
(b)
 1 2 3 44 3 2 1
1 1 1 1
 ~x = ~0
(c)
[
3 −5 1 1
]
~x = ~0
(d)
[
1 1 1 1
]
~x = ~0
2. Seja H = span {(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1)}.
Qual dos sistemas lineares abaixo tem conjunto-
solução igual a H⊥ (o complemento ortogonal de
H)?
(a)
 1 2 3 44 3 2 1
1 1 1 1
 ~x = ~0
(b)
[
1 −2 1 0
2 −3 0 1
]
~x = ~0
(c)
[
3 −5 1 1
]
~x = ~0
(d)
[
1 1 1 1
]
~x = ~0
3. Seja P2 o espaço dos polinômios da forma p(x) =
ax2 + bx+ c. Considerando-se o produto interno
〈p, q〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1),
o ângulo entre os polinômios p(x) = x2 e q(x) =
−x2 + x+ 4 é:
(a) π/4
(b) 0
(c) π/2
(d) π/6
4. SejaA =
 1 2 31 3 3
1 2 4
 1 0 00 −1 0
0 0 2
 1 2 31 3 3
1 2 4
−1.
Então:
(a) A10 =
 −3068 0 3069−3069 1 3069
−4092 0 4093

(b) A10 =
 1 2 31 3 3
1 2 4
10  1 0 00 −1 0
0 0 2
10  1 2 31 3 3
1 2 4
−10.
(c) A10 =
 1 0 00 1 0
0 0 1024

(d) Os autovalores de A10 são 1, −1 e 2.
5. Considere o hiperplano
H = span {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1, ), (1, 1, 0, 1)} ⊂ R4.
O vetor de H o mais próximo possível do vetor
(9,−3, 1, 7) é:
(a) (8,−3, 1, 8)
(b) (9,−3, 1, 8)
(c) (9,−2, 1, 9)
(d) (7,−4, 1, 7)
Gabarito Pág. 1
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton e
Monique
Data: 22 de novembro de 2012
Quarto Teste
1. Seja T : Rn → Rn uma transformação linear e λ ∈ R.
Assinale a alternativa FALSA:
(a) Se λ é um autovalor associado a T então
dim(Nuc(T − λI)) > 0.
(b) Se det(T − λI) = 0 então λ é um autovalor de
A.
(c) ~0 é um autovetor de T.
(d) Se Tv = λv e v 6= ~0 então v é um autovetor de
T associado ao autovalor λ.
(e) Não sei.
2. O determinante da matriz A =




1 2 1 4
0 1 0 0
10 11 0 1
12 13 0 2




é
(a) −28
(b) −38
(c) −18
(d) −8
(e) Não sei.
3. Seja A =






3 0 0
−1 4 0
−15 −5 −1






. Sabendo-se que o ve-
tor (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor 3,
determine os valores de a e b.
(a) a = −1, b = 5
(b) a = −1, b = −5
(c) a = 1, b = −5
(d) a = 1, b = 5
(e) Não sei.
4. O espaço gerado pelas colunas de uma matriz A 5 x
3 tem dimensão 2. O conjunto solução de Ax = 0 e o
conjunto solução de ATx = 0 têm dimensão
(a) 1 e 2 respectivamente
(b) 2 e 3 respectivamente
(c) 2 e 1 respectivamente
(d) 1 e 3 respectivamente
(e) Não sei.
5. Seja A =






−1 0 0
0 32 −
3
2
0 − 32
3
2






. Os autovalores da ma-
triz A são
(a) 3, 0,−1
(b) −5, 0,−1
(c) 1, 3,−5
(d) 3,−1,−5
(e) Não sei.
6. Assinale a afirmativa Falsa
(a) {~v = (v1, v2, v3) ∈ R
3|v1v2 = 0} é um subespaço
vetorial.
(b) O conjunto de todas as combinações lineares dos
vetores {(1, 0, 1), (1, 1, 1)} é um subespaço veto-
rial.
(c) O conjunto dasmatrizes 2 x 2 inversíveis não é
subespaço vetorial.
(d) {~v = (v1, v2, v3) ∈ R
3|v1 + v2 + v3 = 0} é um
subespaço vetorial.
(e) Não sei.
7. Seja A uma matriz n × n. Assinale a alternativa
FALSA:
(a) Se detA 6= 0 então dim(Nuc(A)) = 0.
(b) Se detA = 0 então A é invertível.
(c) Se detA 6= 0 então A é invertível e det(A−1) =
1
det(A) .
(d) Se detA = 0 então o sistema Ax = 0 possui
infinitas soluções.
(e) Não sei.
Nome: Teste 376, pág. 1
Gabarito 
Primeiro Teste 
Teste 444: 1A 2A 3B 4D 5C 6B 7C 
Segundo Teste 
Teste 344: 1D 2B 3D 4A 5A 6B 7A 
Terceiro Teste 
Teste 370: 1B 2B 3C 4A 5A 6D 7D 
Quarto Teste 
Teste 376: 1C 2D 3C 4D 5A 6A 7B 
 
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 18 de abril de 2012
Primeira Prova
1. Considere o sistema linear Ax = b. Se b pertence
ao espaço gerado pelas colunas da matriz A, então
podemos afirmar que:
(a) O sistema linear tem solução.
(b) Não podemos afirmar nada.
(c) O sistema linear é impossível.
(d) O sistema linear tem solução única.
(e) Não sei.
2. Considere as afirmativas abaixo, onde S =
{(x, y, z, w)|x+ 2y + 3w = 0 e 2x− y = 0}.
I. S não é um subespaço de R4.
II. S contém um conjunto com três vetores linear-
mente independentes.
III. S contém um conjunto com dois vetores linear-
mente independentes.
IV. S é a interseção de dois subespaços de dimensão
três de R4.
V. S tem, no máximo, 2 elementos.
(a) As afirmativas (I ) e (III) estão corretas.
(b) As afirmativas (II ) e (V) estão corretas.
(c) As afirmativas (III) e (IV) estão corretas.
(d) As afirmativas (I) e (IV) estão corretas.
(e) Não sei.
3. Considere o seguinte sistema de equações
{
x+ 2y − z = 2
2x+ 3y + z = 3.
Pretende-se acrescentar ao sistema linear a equação
ax+ by + cz = d,
sem mudar o conjunto solução contido em R3. Para
isto basta:
(a) (a, b, c, d) ∈ 〈(1, 2,−1, 2), (2, 3, 1, 3)〉.
(b) Qualquer equação que seja acrescentada mudará
a solução do sistema linear.
(c) (a, b, c) ∈ 〈(1, 2,−1), (2, 3, 1)〉.
(d) (a, b, c, d) /∈ 〈(1, 2,−1, 2), (2, 3, 1, 3)〉.
(e) Não sei.
4. O sistema linear representado pela matriz aumentada




0 2 2 2
−1 2 1 3
1 0 1 −1
−1 0 1 3




possui solução única, cuja soma
das entradas é
(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) -2
(e) Não sei.
5. Decida quais das afirmativas abaixo são verdadeiras.
I. O conjunto de vetores
{(1, 2,−1) , (2,−1, 1) , (0, 1, 1)} é linearmente
independente.
II. O conjunto de vetores
{(1, 2,−1, 2) , (2,−1, 1, 5) , (0, 1, 1, 3) , (1, 1, 0, 3)}
é linearmente independente. .
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
(d) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(e) Não sei.
6. Seja V um espaço vetorial de dimensão 5, e seja S um
subconjunto de V que é linearmente independente.
Então S
(a) Deve ter exatamente cinco elementos.
(b) Pode ter, no máximo, cinco elementos.
(c) Deve ser uma base para V .
(d) Deve ter pelo menos cinco elementos.
(e) Não sei.
7. Seja V um espaço vetorial, U e W subespaços veto-
rias de V . Considere as afirmações:
I. U ∩W = {~v |~v ∈ U e ~v ∈W} é subspaço veto-
rial de V.
II. U ∪W = {~v |~v ∈ U ou ~v ∈W} é subspaço ve-
torial de V.
III. U + W = {~u+ ~w | ~u ∈ U, ~w ∈W} é subspaço
vetorial de V.
(a) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras.
(b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(c) As afirmativas (II) e (III) são falsas.
(d) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras.
(e) Não sei.
Nome: Teste 478, pág. 1
8. Sejam V um espaço vetorial, H ⊂ V um subespaço
vetorial de V . Quais das seguintes afirmativas são
verdadeiras?
I. Se β é base de V então podemos garantir que
β ∩H é base de H.
II. Se γ é base de H e ~v ∈ V é tal que ~v /∈ H, então
γ ∪ {~v} é linearmente independente.
(a) A afirmativa (II) é verdadeira.
(b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira.
(d) Nenhumas das duas afirmativas são verdadeiras.
(e) Não sei.
9. Assinale a alternativa correta:
(a) As matrizes A e B = A+A sempre têm número
de colunas LI iguais.
(b) Se a matriz A tem mais linhas do que colunas
então as suas colunas são linearmente indepen-
dentes.
(c) Se tanto as linhas quanto as colunas de uma ma-
triz são linearmente dependentes, então essa ma-
triz não é quadrada.
(d) Pode existir uma matriz não quadrada tal que
tanto suas linhas quanto suas colunas são line-
armente independentes.
(e) Não sei.
10. Seja W um subespaço de um espaço vetorial V e seja
S = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} um subconjunto de V que gera o
subespaço W . Considere as afirmativas
I. Cada vetor em W tem exatamente uma repre-
sentação como combinação linear de vetores de
S.
II. Para cada vetor ~u ∈ W o conjunto de vetores
{~u, ~v1, ~v2, · · · , ~vk} é linearmente dependente.
(a) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(b) As afirmativas (I) e (II) são falsas.
(c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(d) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(e) Não sei.
11. Qual a dimensão do subespaço vetorial H ⊂ R5 dos
vetores da forma
~v = (x−y+z, 2x+y+8z,−x−3z, 2y+4z, x+y+5z)
(a) 3
(b) 2
(c) 4
(d) 1
(e) Não sei.
12. Seja P2 o espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a 2 e W = {p ∈ P2|p(2) = 0} um subespaço de
P2. A dimensão de W é:
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 0
(e) Não sei.
13. Decida quais das afirmativas abaixo são verdadeiras.
I.
[
2 2
2 3
]
é combinação linear das matrizes
[
0 1
0 0
]
,
[
1 0
1 1
]
e
[
1 1
0 −1
]
.
II. O conjunto de matrizes
{[
1 1
1 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
−1 0
0 1
]
,
[
0 −2
−2 −1
]}
é
linearmente independente.
(a) As afirmativas (I) e (II) são falsas.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) A afirmativa (II) é falsa e (I) é verdadeira.
(d) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(e) Não sei.
14. Dizer que o conjunto de vetores {~v1, ~v2, · · · , ~vn} é li-
nearmente independente é o mesmo que dizer que:
(a) α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn = 0, então α1 = α2 =
· · · = αn = 0.
(b) α1~v1 + α2~v2 + · · · + αn~vn =
0, para todo α1, . . . , αn ∈ R
(c) ~vi não é múltiplo de ~vk se i 6= k
(d) Se α1 = α2 = · · · = αn = 0, então α1~v1+α2~v2+
· · ·+ αn~vn = 0
(e) Não sei.
15. Seja V um espaço vetorial de dimensão 5, e seja S um
subconjunto de V que gera V . Então S
(a) Pode ter, no máximo, cinco elementos.
(b) Deve ser linearmente independente.
(c) Deve ser composto de pelo menos cinco elemen-
tos.
(d) Deve ser linearmente dependente.
(e) Não sei.
Nome: Teste 478, pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Anne, Bruno, Luiz Carlos, Milton, Mo-
nique e Umberto
Data: 31 de outubro de 2012
Primeira Prova
1. Seja A =


2 1 0
1 1 0
1 1 1


A soma dos elementos da diagonal da matriz inversa
é:
(a) 2
(b) 5
(c) 4
(d) 3
(e) Não sei.
2. A projeção ortogonal do vetor (1, 2) sobre a reta cuja
direção é dada pelo vetor (2, 1) é:
(a) ( 8
5
, 4
5
)
(b) ( 4
3
, 2
3
)
(c) (
√
5
5
, 2
√
5
5
)
(d) ( 2
√
5
5
,
√
5
5
)
(e) Não sei.
3. Considere o seguinte sistema linear:















x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 33
x2 − x3 + x4 − 179x5 + 23x6 = −1
x3 + 179x4 = 6
27x4 − x5 + x6 = 0
−x5 + 20x6 = 198
−5x6 = 79.
Assinale a alternativa correta:
(a) O vetor nulo é solução do sistema.
(b) O sistema possui infinitas soluções.
(c) O sistema possui solução única.
(d) O sistema não possui solução.
(e) Não sei.
4. Seja P4 o espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a 4. A dimensão de P4 é:
(a) 4
(b) 6
(c) 5
(d) 7
(e) Não sei.
5. O sistema linear representado pela matriz aumentada




2 2 1 1
3 3 2 1
1 2 1 −1
4 5 3 0




possui solução única.
A soma dos componentes do vetor solução é:
(a) 1
(b) 2
(c) −1
(d) 0
(e) Não sei.
6. Seja T uma transformação linear de Rn em Rm. As-
sinale a afirmativa Falsa:
(a) Se m > n, T pode ser sobrejetiva.(b) Se m = n, T pode ser bijetiva.
(c) Se m < n, T nunca é injetiva.
(d) Se m 6= n, T pode ser injetiva.
(e) Não sei.
7. Seja T : R2 → R3 uma transformação linear. Sabendo
que T (2, 0) = (0, 0, 4) e T (1, 2) = (0, 0, 4) assinale a
afirmativa FALSA:
(a) T (3, 2) = (0, 0, 4).
(b) T não é injetiva.
(c) T (x, y) = (0, 0, 2x+ y), para todo (x, y) ∈ R2.
(d) T não é sobrejetiva.
(e) Não sei.
8. Assinale a afirmativa Verdadeira:
(a) A união de dois conjuntos linearmente indepen-
dentes é linearmente independente.
(b) Todo subconjunto de um conjunto linearmente
dependente é linearmente dependente.
(c) Todo subconjunto de um conjunto linearmente
independente é linearmente independente.
(d) A interseção de dois conjuntos linearmente inde-
pendentes pode ser linearmente dependente.
(e) Não sei.
9. Seja A uma matriz 4 × 4 tal que sua inversa é dada
por




2 0 1 −1
0 2 5 −2
1 −1 2 −3
0 0 1 0




Então, a única solução do sistema linear Ax = b, onde
b = (0, 1,−1, 0), é dada por
(a) x = (−3,−1, 0, 2)
(b) x = (0, 0, 0, 0)
(c) x = (−1,−3,−3,−1)
(d) x = (0, 1,−1, 0)
(e) Não sei.
Nome: Teste 418, pág. 1
10. Quantas colunas linearmente independentes tem a
matriz
A =










1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 5 7 9 11 13 15 17 19
5 8 11 14 17 20 23 26 29










(a) 2
(b) 5
(c) 3
(d) 4
(e) Não sei.
11. Considere a transformação linear T : R3 → R5 defi-
nida por T (x, y, z) = (x,−y+ z, 2x, z, z+ y). A única
matriz A que representa essa transformação, ou seja,
tal que T (~v) = A~v, é dada por
(a)


1 0 2 0 0
0 −1 0 0 1
0 1 0 1 1

 .
(b)






1 0 0
−1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1






.
(c)


1 −1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1

 .
(d)






1 0 0
0 −1 1
2 0 0
0 0 1
0 1 1






.
(e) Não sei.
12. Considere o seguinte sistema linear:



x1 − 3x2 + 3x3 = 0
−3x1 + 5x2 − x3 = 0
x1 − 2x2 + x3 = 0
A dimensão do conjunto solução desse sistema linear
é:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 1
(e) Não sei.
13. Sejam ~v e ~w tais que ~v 6= ~w e ~v 6= ~0. Assinale a
afirmativa FALSA:
(a) O conjunto {~v, ~w} é sempre linearmente inde-
pendente.
(b) O conjunto de vetores {~v, ~w,~v + ~w} é sempre
linearmente dependente.
(c) O conjunto {~0} é linearmente dependente.
(d) O conjunto {~v} é sempre linearmente indepen-
dente.
(e) Não sei.
14. Seja T : R4 → R5 uma transformação linear injetiva.
Pode-se afirmar que a dimensão de ImT é igual a:
(a) 4
(b) 1
(c) 0
(d) 5
(e) Não sei.
15. Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por
T (x, y) = (2x, 3y). Pode-se afirmar que:
(a) A inversa de T existe e é dada por T−1(x, y) =
(−2x,−3y).
(b) A inversa de T existe e é dada por T−1(x, y) =
(x/2, y/3).
(c) T não possui inversa.
(d) A inversa de T existe e é dada por T−1(x, y) =
(3x, 2y).
(e) Não sei.
16. Seja V o espaço gerado pelos vetores ~v1, ~v2, ~v3 e ~v
um elemento qualquer de V . Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) O conjunto {~v1, ~v2, ~v3, ~v} não é um conjunto ge-
rador de V .
(b) Existe a, b, c ∈ R tal que ~v = a~v1 + b~v2 + c~v3.
(c) O conjunto {~v1, ~v2} não pode gerar V .
(d) O conjunto {~v1, ~v2, ~v3} é uma base de V .
(e) Não sei.
Nome: Teste 418, pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario,
Milton, Monique e Umberto
Data: 15 de maio de 2013
Primeira Prova
1. Os valores de (a, b, c) de forma que o sistema linear1 2 34 5 6
7 8 9
xy
z
 =
ab
c
 tenha pelo menos uma solu-
ção satisfazem a equação:
(a) a− 2b+ c = 0
(b) a− 2b+ c 6= 0
(c) 2a− b+ c = 0
(d) a− b+ 2c = 0
2. Podemos afirmar que a solução do sistema linear
1 2 3 4
0 5 6 7
0 5 6 7
0 0 0 0


x
y
z
w
 =

0
0
0
0

(a) É um plano que passa pela origem
(b) É uma reta que passa pela origem
(c) É um plano que não passa pela origem
(d) É uma reta que não passa pela origem
3. Considere o conjunto de vetores
V =
{
(x, y) ∈ R2|y = x2
}
,
com as operações de soma vetorial e multiplicação por
escalar dadas por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, (x1 + x2)
2),
k(x, y) = (kx, k2x2).
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) V é um espaço vetorial, mas não é um su-
bespaço de R2
(b) A soma não possui elemento neutro
(c) V é um subespaço vetorial de R2
(d) A soma não é associativa
4. Seja n um número natural ímpar e seja
Pn = {p | p é polinômio de grau ≤ n} .
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) S = {p ∈ Pn | p(1) = 0} possui sempre di-
mensão ímpar
(b) Pn possui sempre dimensão ímpar
(c) S = {p ∈ Pn | p(1) = 0 e p(2) = 0} possui sempre
dimensão ímpar
(d) S = {p ∈ Pn | p(1) = 0, p(2) = 0 e p(3) = 0} pos-
sui sempre dimensão ímpar
5. Assinale o polinômio que não pertence ao espaço
W =
〈
x3 + x2 + 2x+ 6, 2x2 + 2x+ 6, 2x2 + 3x+ 9
〉
(a) x+ 6
(b) x3 − x2
(c) x+ 3
(d) 3x2 + 4x+ 12
6. Considere os sistemas equivalentes Ax = b1 e Bx =
b2,onde [B|b2] é a matriz obtida de [A|b1] após o
escalonamento. Assinale a afirmativa FALSA:
(a) O espaço gerado pelas colunas de A é igual
ao espaço gerado pelas colunas de B
(b) O espaço gerado pelas linhas de A é igual ao
espaço gerado pelas linhas de B
(c) O conjunto solução de Ax = 0 é igual ao de
Bx = 0
(d) O conjunto solução de Ax = b1 é igual ao de
Bx = b2
7. O sistema linear representado pela matriz aumentada
−1 −1 −1 1
3 3 2 1
1 2 1 −1
4 5 3 0
 possui solução única.
A soma dos componentes do vetor solução é:
(a) −1
(b) 1
(c) 0
(d) −2
8. Considere o sistema Ax = b e sejam respectivamente
p e q os números de colunas linearmente independen-
tes (LI) de A e da matriz aumentada [A|b]. Assinale
a afirmativa VERDADEIRA:
(a) Se p < q então o sistema não tem solução
(b) Se p < q então o sistema possui infinitas soluções
(c) Se p = q então o sistema não tem solução
(d) Se p = q então o sistema tem solução única
9. Seja W um espaço vetorial de dimensão 4 e sejam
U eV subespaços de W tais que U ∩ V = 0. Assinale
a afirmativa VERDADEIRA:
(a) U e V podem ambos ter dimensão 2
(b) U e V devem ambos ter dimensão 2
(c) U e V podem ambos ter dimensão 3
(d) U e V devem ambos ter dimensão estritamente
menor que 4
Gabarito Pág. 1
10. Determine quantos vetores são linearmente indepen-
dentes (LI) no conjunto abaixo,
{[1,−2, 0,−2], [3,−7, 1,−6], [1,−1, 0,−3], [−3, 6,−1, 7]}
(a) 3
(b) 4
(c) 2
(d) 1
11. Assinale o conjunto que NÃO É um subespaço veto-
rial:
(a) O conjunto das matrizes reais 2 × 2 cujo
elemento da primeira linha e da segunda
coluna de A é igual a 1
(b) O espaço gerado pelas colunas de uma matriz
real Am×n
(c) O conjunto das matrizes 2×2 triangulares supe-
riores
(d) O conjunto das matrizesXp×1, tais queAX = 0,
onde A é uma matriz m× p dada
12. O que NÃO podemos afirmar sobre o escalonamento
de matrizes reais:
(a) Se duas matrizes A e B têm a mesma ma-
triz na forma escalonada, então necessari-
amente A = B
(b) Ao escalonar uma matriz m × n, com m > n,
sempre vamos obter pelo menos m − n linhas
nulas
(c) Na forma escalonada de uma matriz qualquer,
o número de colunas linearmente independentes
(LI) é igual ao de linhas linearmente indepen-
dentes (LI)
(d) As linhas não nulas da forma escalonada de uma
matriz formam um conjunto linearmente inde-
pendente (LI)
13. O que NÃO É verdadeiro para subespaços W de um
espaço vetorial V ?
(a) Se S = {v1, ...,vn} é uma base de V , então
S sempre conterá uma base para W
(b) Qualquer combinação linear de n vetores de W
também é um vetor de W
(c) dim(V ) ≥ dim(W )
(d) O espaço gerado por W é igual a W
14. Suponha que a matriz A6×8 e o vetor b ∈ R6 são tais
que a solução geral de Ax = b tem duas variáveis
livres. Se b 6= c ∈ R6 podemos afirmar que:
(a) A solução geral de Ax = c sempre tem
duas variáveis livres.
(b) A solução geral de Ax = c pode ter apenas uma
variável livre.
(c) Ax = c pode não ter solução.
(d) Ax = c pode ter uma única solução.
15. Considere Ax = b, onde A é m× 2, e seja Gx = c a
forma escalonada. Sejam a1 e a2 as colunas de A e g1
e g2 as colunasde G. Assinale a afirmativa FALSA:
(a) 〈a1,a2〉 = 〈g1,g2〉
(b) Se b = αa1 + βa2 então c = αg1 + βg2
(c) Se b 6∈ 〈a1,a2〉 então c 6∈ 〈g1,g2〉
(d) Se a1 = αa2 então g1 = αg2
16. Sobre as soluções de um sistema linear Ax = b, onde
A é m× n, assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) São os coeficientes de uma combinação li-
near das colunas de A
(b) São vetores de Rm
(c) São os coeficientes de uma combinação linear das
linhas de A
(d) São as colunas de A
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Ma-
rio, Milton, Monique e Paulo
Data: 25 de setembro de 2013
Primeira Prova
1. Podemos afirmar que o conjunto-solução de
1 2 3 4
0 5 6 7
0 5 6 8
0 0 0 0


x
y
z
w
 =

0
0
0
0
 tem dimensão igual
a:
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 3
2. O sistema linear (−1)x + (−2)y + (−2)z = 5(−1)x + (0)y + (−3)z = 5
(1)x + (4)y + (3)z = −9
admite a solução (x0, y0, z0). A soma de x0 + y0 + z0
é:
(a) −2
(b) −1
(c) 3
(d) 4
3. A condição em a e b para que a equação 2 1 42 4 3
0 −3 a
 ~x =
 23
b

tenha solução única é:
(a) a 6= 1
(b) a = 1, b = −1
(c) a = 1, b 6= −1
(d) a− 3 = b
4. Seja A uma matriz m × n, com m ≥ n. Assinale a
afirmativa VERDADEIRA:
(a) Se Nuc(A) 6= {0} então dimensão de
Im(A) 6= m
(b) Se Nuc(A) = {0} então dimensão de Im(A) 6= n
(c) Se Nuc(A) = {0} então dimensão de Im(A) =
m
(d) Se Nuc(A) 6= {0} então dimensão de Im(A) = n
5. Seja a função
T : R3 → R2, T(x,y,z)= (-2x + y - 5z, 2x - 7y + 9z).
É CORRETO afirmar que o conjunto-solução de
T(x,y,z)=(0,0) tem dimensão:
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) 3
6. Seja β = {1 − x2, x + 1, x − 1} uma base de P2. Se
v = 1+ 2x− 4x2 então a soma das coordenadas de v
na base β é:
(a) 6
(b) 8
(c) 1
(d) 3
7. Seja P2 o espaço dos polinômios da forma p(x) =
a0 + a1x + a2x
2, a0, a1, a2 ∈ R. Em qual dos casos
abaixo o subconjunto H não é subespaço vetorial de
P2?
(a) H = {p ∈ P2|p(1).p(2) = 0}
(b) H = {p ∈ P2|p(1) = 0}
(c) H = {p ∈ P2|p(1) + p(2) = 0}
(d) H = {p ∈ P2|p(1) = p(2)}
8. Seja H o subespaço definido por〈
(2,−1,−1), (2,−2, 1), (−4, 1, 4), (0, 2,−4)
〉
.
Qual dos conjuntos abaixo é base de H?
(a)
{
(2,−1,−1), (2,−2, 1)
}
(b)
{
(2,−1,−1)
}
(c)
{
(2,−1,−1), (2,−2, 1), (−4, 1, 4)
}
(d)
{
(2,−1,−1), (2,−2, 1), (−4, 1, 4), (0, 2,−4)
}
9. Seja W =
{
(a, b, c, d)| - a + 2b = 0 e b + 2 d = 0
}
um subespaço de R4. A dimensão de W é igual a:
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 4
10. Seja V um espaço vetorial e S = {v1,v2,v3,v4} um
conjunto de vetores de V , todos distintos entre si.
Sejam A = {v1,v2} e B = {v3,v4}. Assinale a afir-
mativa VERDADEIRA:
(a) Se S é um conjunto linearmente indepen-
dente (LI), então A é um conjunto linear-
mente independente (LI) e B é um con-
junto linearmente independente (LI)
Gabarito Pág. 1
(b) Se S é um conjunto gerador de V , então A é
um conjunto gerador de V e B é um conjunto
gerador de V
(c) Se S é um conjunto linearmente independente
(LI), então: ou A é um conjunto linearmente
independente (LI), ou B é um conjunto linear-
mente independente (LI), mas não ambos.
(d) Se S é um conjunto gerador de V , então: ou A é
um conjunto gerador de V , ou B é um conjunto
gerador de V , mas não ambos.
11. Seja V um espaço vetorial de dimensão 2 e S =
{v1,v2,v3} um conjunto gerador de V , com todos os
vetores distintos entre si. Sejam A = {v1,v2}, B =
{v2,v3} e C = {v1,v3}. Assinale a afirmativa
FALSA:
(a) A,B e C podem ser todos conjuntos line-
armente dependentes ( LD )
(b) A,B e C podem ser todos conjuntos linearmente
independentes (LI)
(c) A,B e C podem ser todos conjuntos geradores
de V
(d) A,B e C podem ser todos bases de V
12. Considere o sistema linear A~x = ~b de m equações em
n incógnitas. Qual das seguintes situações não pode
acontecer?
(a) m < n, solução única.
(b) m < n, nenhuma solução.
(c) m = n, mais de uma solução.
(d) m = n, nenhuma solução.
13. A única afirmativa VERDADEIRA é:
(a) Todo subconjunto de um conjunto linear-
mente independente é linearmente inde-
pendente.
(b) Se um conjunto é linearmente dependente então
ele gera o espaço inteiro.
(c) Todo subconjunto de um conjunto linearmente
dependente é linearmente dependente.
(d) Nenhum conjunto linearmente independente
gera o espaço inteiro.
14. Para qual das matrizes abaixo T (x) = Ax é uma fun-
ção de R3 em R2 ?
(a) A =
[
1 2 3
2 4 6
]
(b) A =
1 42 5
3 6

(c) A =
1 2 34 5 6
7 8 9

(d) A =
[
1 2
3 4
]
15. Assinale a solução geral do sistema linear represen-
tado pela matriz aumentada
 1 1 2 10 1 2 1
1 2 4 2

(a) {(0,−1, 1) + t(0,−4, 2), t ∈ R}
(b) {(0,−1, 2) + t(0,−4, 2), t ∈ R}
(c) {(0, 1, 0) + t(0, 2, 0) + s(0, 0, 1), t, s ∈ R}
(d) {(0, 1, 0)}
16. Seja P3 o espaço dos polinomios {p = a0+a1x+a2x2+
a3x
3, a0, a1, a2, a3 ∈ R}. Qual função abaixo NÃO é
uma função injetiva de P3 em P3?
(a) F (p) = dpdx
(b) F (p) = p+ x
(c) F (p) = p+ x2
(d) F (p) = 2p
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães,
Mário de Oliveira, Milton Ramirez, Monique Car-
mona, Nilson Bernardes e Nilson Roberty
Data: 27 de fevereiro de 2014
Primeira Avaliação
1. Quais valores para α e β fazem com que o vetor
(5, 1,−1, 0) seja uma combinação linear de
(α+ β, 1, 1, α) e (2, 1, 0, 1)?
(a) α = 2 e β = −3
(b) α = −4 e β = −2
(c) α = 1 e β = 5
(d) α = 5 e β = 0
2. Qual dentre as proposições abaixo é VERDA-
DEIRA?
(a) Se o conjunto {~u,~v} é linearmente inde-
pendente, então o conjunto {k~u, k~v} tam-
bém e linearmente independente, para
todo número real k 6= 0.
(b) Se ~v e ~w são tais que ~v 6= ~w e ~v 6= ~0, então o con-
junto {~v, ~w} é sempre linearmente dependente.
(c) Se ~v e ~w são tais que ~v 6= ~w e ~v 6= ~0, então o
conjunto {~v, ~w} é sempre linearmente indepen-
dente.
(d) Se ~v 6= ~0, então o conjunto {~v} é sempre linear-
mente dependente
3. Considere o conjunto M de matrizes 2× 2 da forma:[
a 1
1 b
]
, com as seguintes operações de soma e
multiplicação por escalar:
[
a 1
1 b
]
⊕
[
c 1
1 d
]
=[
a+ c 1
1 b+ d
]
e k ∗
[
a 1
1 b
]
=
[
ka 1
1 b
]
.
Assinale a alternativa FALSA:
(a) M é um espaço vetorial.
(b) Todo elemento de M possui inverso aditivo (ne-
gativo).
(c) 1 · ~u = ~u vale para todo ~u 6= 0 ∈M .
(d) A soma de dois elementos de M está em M .
4. Qual dentre as proposições abaixo é VERDA-
DEIRA?
(a) O conjunto gerador de um espaço W está
contido em W .
(b) Todo conjunto gerador do R3 contém os vetores
(1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
(c) O espaço gerado pelos vetores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
é R2.
(d) Cada vetor de R2 pode ser escrito de forma
única como combinação linear dos vetores
(1,−1), (1, 0) e (3,−2).
5. Se F = {~v1, ~v2, ~v3} é um conjunto gerador
de S, onde S é o conjunto de soluções de{
(−2)x+ (2)y + (2)z + (2)w = 0
(2)y + (2)w = 0
então:
(a) F pode ser {[2, 0, 2, 0],[0,−2, 0, 2],[2,−2, 2, 2]}.
(b) F pode ser {[2, 0, 2, 0],[1, 1, 1, 1],[4, 0, 4, 0]}.
(c) F pode ser {[0,−2, 0, 2],[2, 2, 2, 2],[0, 2, 0,−2]}.
(d) Qualquer dois vetores de F formam uma base
para S.
6. Seja V um espaço vetorial de dimensão n, então é
VERDADE que:
(a) Todo subconjunto de V com mais do que
n vetores é linearmente dependente.
(b) Todo subconjunto linearmente independente de
V gera V .
(c) Todo subconjunto gerador de V é linearmente
independente.
(d) Nem todo subconjunto de V com n vetores line-
armente independentes é uma base para V .
7. Suponha que A =
1 0 2 21 1 0 4
0 1 −2 3
. Então, a dimen-
são da imagem de A será igual a:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
8. Lembre-se que para a multiplicação da matriz A por
um vetor coluna vale: A(a~v + b~u) = aA(~v) + bA(~u)
onde ~v, ~u ∈ Rn e a, b ∈ R.
Seja ~v1 = (1, 0, 1) e ~w1 = (2, 3) tal que A~v1 = ~w1
e ~v2 = (1, 1,−1) e ~w2 = (0,−1) tal que A~v2 = ~w2.
Então, para ~u = (1, 2,−3):
(a) A~u = (-2,-5).
(b) A~u = (2,1).
(c) A~u = (4,7).
(d) A~u = (-4,-7).
9. Seja V gerador por {~u,~v, ~w}. Sabendo que uma base
de V possui dois elementos, assinale a resposta COR-
RETA:
(a) Um dos conjuntos{~u,~v} ,{~u, ~w}, {~v, ~w} é
linearmente independente
(b) Todos os conjuntos {~u,~v} ,{~u, ~w}, {~v, ~w} são li-
nearmente independente
(c) Um dos conjuntos {~u} ,{~v}, {~w} é linearmente
dependente
(d) Um dos conjuntos {~u,~v} ,{~u, ~w}, {~v, ~w} é line-
armente dependente
Gabarito Pág. 1
10. Um dado é lançado 3 vezes seguidas e os valores obti-
dos, a, b e c formam o lado direito do sistema abaixo: −3 z + 3 y + x−6 z + 6 y + 2x−9 z + 9 y + 3x
=
=
=
a
b
c
Podemos afirmar que:
(a) O sistema possui uma chance em 108 de
ter solução
(b) O sistema possui uma chance em 54 de ter solu-
ção
(c) O sistema nunca terá solução
(d) O sistema possui uma chance em 27 de ter solu-
ção
11. Dada uma matriz A n×n, podem existir vetores não
nulos ~v ∈ Rn, tais que A~v = λ~v, onde λ ∈ R (nesse
caso ~v é dito autovetor de A associado ao escalar λ).
Suponha que A =
 4 0 −10 2 0
2 0 1
 e A~v = 3v. Então,
se sabemos que a primeira coordenada de ~v é igual a
1, a soma das coordenadas de ~v será igual a:
(a) 2.
(b) 3.
(c) 1.
(d) 0.
12. Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear
a seguir não tenha solução:
4 5 0 −4
8 8 5 −8
−4 −3 −7 + α 4
8 6 10 −6


x
y
z
w
 =

3
1
4 + β
4

(a) α = 2, β 6= −2
(b) α = 2, β = −2
(c) α 6= 2, β = −2
(d) α 6= 2, β 6= −2
13. Seja
 −1 4 10 −3 2
0 0 2
 a matriz obtida de A através da
seguinte sequencia de operações elementares: L2 ←
−(1/2)L2; L2 ↔ L1; L2 ← L2 + 2L1; L3 ← L3 − L1;
L3 ← L3 + L2; Qual dentre as seguintes matrizes é a
matriz A ORIGINAL?
(a)
 2 −11 02 −8 −2
−1 7 1

(b)
 −4 −2 1−4 −4 −2
2 0 −1

(c)
 2 −5 −52 −4 −6
−1 3 −2

(d)
 −2 8 −3−2 6 −4
1 −5 0

14. A soma dos componentes do vetor solução do sis-
tema linear representado pela matriz aumentada
0 −2 1 1
−1 −1 2 1
1 −2 1 −1
0 −3 3 0

é:
(a) −4
(b) −2
(c) −5
(d) −3
15. O conjunto {~v1, ~v2, ~v3} é linearmente dependente
e o conjunto {~v2, ~v3, ~v4} é linearmente indepen-
dente. Seja A a matriz cujas colunas são os vetores
{~v1, ~v2, ~v3}. Assinale a resposta CORRETA:
(a) O sistema A ~X = ~v4 não possui solução
(b) O sistema A ~X = ~v1 possui solução única
(c) O sistema A ~X = ~v2 não possui solução
(d) O sistema A ~X = ~v3 possui solução única
Gabarito Pág. 2
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 1 de Outubro de 2015
Primeira Prova
1. Sejam A =
[
1 2 3 4
1 2 4 3
]
e B =
[
1 2 5 4
1 2 4 4
]
.
Defina H = N(A)∩N(B) (interseção do núcleo de A
com o núcleo de B). A dimensão de H é:
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) 3
2. Seja A =
 1 2 02 1 3
3 2 4
 e seja H a imagem de A.
Assinale a alternativa verdadeira:
(a) H é gerado por (1, 2, 3), (2, 1, 2) e (0, 3, 4).
(b) H é gerado por (1, 2, 0), (2, 1, 3) e (3, 2, 4).
(c) {(1, 2, 3), (2, 1, 2), (0, 3, 4)} é base de H.
(d) {(1, 2, 0), (2, 1, 3), (3, 2, 4)} é base de H.
3. O vetor (4, 5, 5) pode ser expresso como (4, 5, 5) =
a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3) + c(1, 2, 4). O coeficiente c vale:
(a) -1
(b) 2
(c) 1
(d) -2
4. Seja H o conjunto dos polinômios da forma p(x) =
ax2+bx+c que satisfazem p(2) = 2p(1). A dimensão
de H é:
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) não está definida, pois H não é subespaço.
5. Considere as afirmativas:
I. A~x = ~0 tem solução única se e só se as colunas de
A são linearmente independentes.
II. A~x = ~b tem solução para todo ~b se e só se as linhas
de A são linearmente independentes.
(a) I e II são verdadeiras.
(b) I e II são falsas.
(c) I é verdadeira, mas II é falsa.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
6. Sejam Am×n e Bn×m duas matrizes cujo produto é
a matriz nula, isto é, AB = 0m×m. Pode-se afirmar
que:
(a) O conjunto das colunas de A é linearmente
dependente ou o conjunto das linhas de B
é linearmente dependente.
(b) O conjunto das linhas de A é linearmente depen-
dente ou o conjunto das colunas de B é linear-
mente dependente.
(c) BA = 0n×n.
(d) A = 0m×n ou B = 0n×m.
7. Considere a matriz A5×5, cujas linhas são
~v1, ~v2, . . . , ~v5. É dado que uma forma escalonada de
A é
A ∼

0 1 4 7 9
0 0 4 5 6
0 0 0 2 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 .
Qual dos seguintes conjuntos gera R5? (Abaixo, ~ej
indica o vetor (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), cuja única entrada
não-nula é a j-ésima.)
(a) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5, ~e1, ~e5}
(b) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5, ~e2, ~e3, ~e4}
(c) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5}
(d) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5, ~e1, ~e2}
8. Deseja-se encontrar o polinômio da forma p(x) =
a0 + a1(x + 1) + a2x(x + 1) cujo gráfico passe pelos
pontos (−1, 2), (0, 3) e (1, 0). O vetor de coeficientes
(a0, a1, a2):
(a) é solução do sistema linear representado
por  1 0 0 21 1 0 3
1 2 2 0
 .
(b) é solução do sistema linear representado por 1 −1 1 21 0 0 3
1 1 1 0
 .
(c) não pode ser calculado pela solução de um sis-
tema linear, pois trata-se de um problema qua-
drático.
(d) é solução do sistema linear representado por[
−1 0 1 0
2 3 0 0
]
.
Gabarito Pág. 1
9. (QUESTÃO EXTRA) Seja Sp(2) o conjunto das
matrizes M ∈ M2(R) tais que M tJM = J , onde
J =
[
0 −1
1 0
]
. Seja M =
[
a b
c d
]
. Considere as
seguintes afirmações:
I. Se M ∈ Sp(2), então ad− bc = 1.
II. Sp(2) é um subespaço vetorial deM2(R).
(a) I é verdadeira, II é falsa.
(b) I e II são falsas.
(c) I e II são verdadeiras.
(d) I é falsa, II é verdadeira.
10. Seja R2 o conjunto dos pares ordenados de números
reais munido da soma usual. Considere as seguintes
operações de produto por um escalar k ∈ R:
k · (x, y) = (kx, ky), k ∗ (x, y) = (k2x, k2y)
(a) (R,+, ∗) não é um espaço vetorial.
(b) (R,+, ·) não é um espaço vetorial.
(c) o produto ∗ é distributivo com relação à soma
de escalares.
(d) o produto ∗ não é distributivo com relação à
soma vetorial.
11. Qual conjunto abaixo pode ser uma base para a ima-
gem de uma matriz A3×5?
(a) Um conjunto de 3 vetores em R3
(b) Um conjunto de 3 vetores em R5
(c) Um conjunto de 5 vetores em R3
(d) Um conjunto de 5 vetores em R5
12. Seja A uma matrix 6 × 2. Deseja-se construir uma
matriz M de forma que o produto C = AM seja uma
matriz 6× 2 satisfazendo:
i. A primeira coluna de C é igual à soma das colunas
de A;
ii. A segunda coluna de C é igual à diferença entre
as colunas de A;
Qual a soma de todos os elementos da matriz
M?
(a) 2
(b) 0
(c) 6
(d) 1
13. Sejam A uma matriz e B a sua forma escalonada.
Considere as seguintes afirmativas:
I. As colunas de B são combinações lineares das co-
lunas de A.
II. As linhas de B são combinações lineares das linhas
de A.
(a) I é falsa, II é verdadeira.
(b) I e II são verdadeiras.
(c) I é verdadeira, II é falsa.
(d) I e II são falsas.
14. Quais das expressões abaixo NÃO REPRESENTA
a solução geral do sistema:{
x+ y + z + w = 4
x− y + z + w = 6
(a) (5− t− s,−1, 2t+ 2s,−t− s),∀t, s ∈ R
(b) (4− t− s,−1, t, 1 + s),∀t, s ∈ R
(c) (3− t− s,−1, 1 + t, 1 + s),∀t, s ∈ R
(d) (4− t− s,−1, 1 + t, s),∀t, s ∈ R
15. Seja A uma matriz m× n, com m < n, tal que a
dimensão da imagem de A é igual a m.
I. A~x = ~b nem sempre tem solução.
II. Quando A~x = ~b tem solução, a solução não é
única.
(a) I é falsa, mas II é verdadeira.
(b) I e II são verdadeiras.
(c) I e II são falsas.
(d) I é verdadeira, mas II é falsa.
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mario, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 30 de maio de 2012
Segunda Prova
1. Seja D : P2 → P2, a transformação que leva um po-
linômio de grau menor ou igual a 2 em sua derivada,
D(p) = p′. Considere
I O único autovalor de D é λ = 0.
II D não é invertível.
(a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(b) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(c) Ambas as afirmativas são falsas.
(d) Ambas as afirmativas são verdadeiras.
(e) Não sei.
2. A matriz que representa a transformação linear
T : R3 → R3 definida por
T (x, y, z) = (2x+ 3y,−6x− 2y, 3z) é
(a)


2 0 −6
3 0 −2
0 3 0

.
(b)


2 0 3
−6 0 −2
0 3 0

.
(c)


2 3 0
−6 −2 0
0 0 3

.
(d)


2 −6 0
3 −20
0 0 3

.
(e) Não sei.
3. Qual das matrizes abaixo não é invertível. (Não é
necessário calcular a inversa!)
(a) A =










1 2 3 4
0 5 6 7
0 0 8 9
0 0 0 10










(b) A =






1 0 0
2 0 0
3 4 5






(c) A =


1 2
2 3


(d) A =


1 2
3 4


(e) Não sei.
4. O determinante da matriz A =










2 1 0 1
0 0 −1 1
5 5 5 2
1 1 1 1










é:
(a) 9
(b) −7
(c) 3
(d) 0
(e) Não sei.
5. Seja D : P2 → P2, a transformação que leva um po-
linômio de grau menor ou igual a 2 em sua derivada,
D(p) = p′. Seja β = {x2, x, 1} uma base de P2. A
matriz de D na base β é:
(a) A =






2 0 0
0 1 0
0 0 0






(b) A =






0 0 0
2 0 0
0 1 0






(c) A =






2 0 0
0 1 0
0 0 1






(d) A =






0 0 0
0 0 2
0 1 0






(e) Não sei.
6. Seja A uma matriz n × n que possui n autovalores
reais.
I As entradas de A2 são todas maiores do que,
ou iguais, a zero.
II Os autovalores de A2 são todos maiores do
que, ou iguais, a zero.
(a) Ambas as afirmativas são verdadeiras.
(b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(c) Ambas as afirmativas são falsas.
(d) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(e) Não sei.
Nome: Teste 487, pág. 1
7. Seja A =






−3 0 0
0 12 −
1
2
0 − 12
1
2






. Os autovalores da ma-
triz A são
(a) 4, 0,−3
(b) 1, 1, 4
(c) 1, 0,−3
(d) 1,−3, 4
(e) Não sei.
8. Considere as afirmativas:
I Toda matriz triangular superior é diagonalizá-
vel.
II A matriz


a d e
d b f
e f c

 é diagonalizável.
(a) Ambas as afirmativas são falsas.
(b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(c) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(d) Ambas as afirmativas são verdadeiras
(e) Não sei.
9. Sejam A e B matrizes n×n invertíveis. Considere as
afirmativas:
I Det(A+B) = Det(A) + Det(B).
II Det(A−1) = 1
Det(A) .
(a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(b) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(c) Ambas as afirmativas são falsas.
(d) Ambas as afirmativas são verdadeiras.
(e) Não sei.
10. Seja A =






3 0 0
4 5 0
1 −7 −2






. O vetor (1, a, b) é um
autovetor associado ao autovalor 3. Os valores de a e
b são:
(a) a = −2, b = −3
(b) a = 2, b = 3
(c) a = 2, b = −3
(d) a = −2, b = 3
(e) Não sei.
11. Seja T : V → V , onde Dim(V ) = n.
I Se Dim(Im(T )) = Dim(Nuc(T )), então n é par.
II Se n é ímpar, então
Dim(Im(T)) > Dim(Nuc(T)).
(a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(b) Ambas as afirmativas são falsas.
(c) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(d) Ambas as afirmativas são verdadeiras.
(e) Não sei.
12. Considere as afirmativas:
I Existem matrizes quadradas sem autovetores.
II Se uma matriz é diagonalizável, então todos os
seus autovalores são distintos.
(a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(b) Ambas as afirmativas são verdadeiras.
(c) Ambas as afirmativas são falsas.
(d) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(e) Não sei.
13. Seja T a projeção sobre o plano x+y+z = 0 segundo
a direção do vetor (1, 1, 1). Qual das matrizes abaixo
representa esta transformação linear com relação a
alguma base de autovetores ?
(a)






2
3 −
1
3
1
3
− 13
2
3 −
1
3
− 13 −
1
3
2
3






(b)


1 0 0
0 2 0
0 0 3


(c)


1 0 0
0 1 0
0 0 0


(d)


1 1 1
−1 0 1
0 −1 1


(e) Não sei.
14. Sejam A e B matrizes 2× 2:
I Se A2 = 0, então A = 0.
II Se Im(B) ⊆ Nuc(A) então AB = 0
(a) Ambas as afirmativas são falsas.
(b) Ambas as afirmativas são verdadeiras.
(c) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(d) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(e) Não sei.
Nome: Teste 487, pág. 2
15. Seja A uma matriz quadrada tal que Det(A) = 0.
Assinale a alternativa FALSA:
(a) As colunas de A são linearmente dependentes.
(b) Dim(Nuc(A)) > 0.
(c) O sistema linear Ax = b possui várias soluções,
qualquer que seja b.
(d) A não é sobrejetiva.
(e) Não sei.
Nome: Teste 487, pág. 3
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario,
Milton, Monique e Umberto
Data: 12 de junho de 2013
Segunda Prova
1. Se a matriz A, 2× 2, satisfaz A =
[
1 0
2 1
]
U, assinale
a afirmativa VERDADEIRA:
(a) A segunda linha de A é igual a duas vezes
a primeira linha de U somada à segunda
linha de U
(b) A segunda linha de U é igual à segunda linha de
A somada a duas vezes a primeira linha de A
(c) A segunda coluna de A é igual à segunda coluna
de U menos duas vezes a primeira coluna de U
(d) A segunda coluna de A é igual à segunda coluna
de U menos duas vezes a primeira coluna de A
2. Sejam u1, . . . ,un vetores gerando um espaço vetorial
V . Sejam v1, . . . ,vk ∈ V vetores linearmente inde-
pendentes. Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) n ≥ k
(b) n = k
(c) n ≤ k
(d) n > k
3. O determinante da matriz

1 1 0 1
1 3 2 2
0 0 −2 0
2 4 2 6
 é:
(a) −12
(b) −20
(c) −19
(d) −11
4. Seja T uma transformação linear de Rn em Rk. Se
k < n, assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) T nunca será injetora
(b) T sempre será sobrejetora
(c) T sempre será bijetora
(d) T nunca será sobrejetora
5. A matriz que representa uma transformação linear de
R2 em R3, cuja imagem está no plano x+ y+4z = 0
é:
(a)
 4 00 4
−1 −1

(b)
[
4 0 −1
0 4 −1
]
(c)
 4 00 4
1 1

(d)
[
4 0 1
0 4 1
]
6. Seja Pn = {p | p é polinômio de grau ≤ n} e seja T a
transformação linear,
T : P2 → P3
p 7→ (x− 1)p
Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) A imagem de T tem dimensão 3
(b) O núcleo de T tem dimensão 3
(c) A imagem de T tem dimensão 1
(d) T não é linear
7. Se A é uma transformação linear, qual das afirmativas
abaixo é verdadeira?
(a) Se {Av1, Av2, · · · , Avk} são linearmente in-
dependentes, então {v1,v2, · · · ,vk} são li-
nearmente independentes
(b) Se {v1,v2, · · · ,vk} são linearmente independen-
tes, então {Av1, Av2, · · · , Avk} são linearmente
independentes
(c) Se {Av1, Av2, · · · , Avk} são linearmente depen-
dentes, então {v1,v2, · · · ,vk} são linearmente
dependentes
(d) Podemos ter {v1,v2, · · · ,vk} linearmente de-
pendentes e {Av1, Av2, · · · , Avk} linearmente
independentes
8. Seja V um espaço vetorial e α e β duas bases distin-
tas de V . Sejam v e w dois vetores distintos de V .
Denotamos as coordenadas de v em relação à base α
por [v]α. Podemos sempre afirmar que:
(a) [v]α 6= [w]α
(b) [v]β 6= [w]α
(c) [v]α 6= [w]β
(d) [v]α 6= [v]β
9. Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V . Se
sabemos que U não está contido em W , nem W está
contido em U , podemos afirmar que
(a) U
⋂
W é um subespaço de V , mas U
⋃
W
não é um subespaço de V
(b) U
⋂
W é um subespaço de V e U
⋃
W pode ser
um subespaço de V
(c) U
⋂
W não é um subespaço de V e U
⋃
W tam-
bém não é um subespaço de V
(d) U
⋂
W é um subespaço de V e U
⋃
W também
é um subespaço de V
Gabarito Pág. 1
10. Seja A =
12 3 18 4 3
1 1 1

Qual das matrizes poderia ser a inversa de A?
(a)
 1 −2 ∗−5 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

(b)
 1 −5 ∗−2 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

(c)
 −5 −2 ∗1 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

(d)
 111 2 ∗1
8 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

11. Calcule a soma das coordenadas do vetor (4, 1) na
base {(2, 2), (2, 4)}
(a) 2
(b) 4
(c) 5
(d) 1
12. Assinale a aplicação que NÃO é linear:
(a) T : R3 → R3, onde: T (x, y, z) = (2x +
y,−z/x, x+ y + z/2).
(b) T : R3 → R4, onde:T (x, y, z) = (2x + y,−z, x−
y + 2z, z − x).
(c) T : P3 → P3, onde: T (p(x)) = p′(x) e P3 =
{p | p é polinômio de grau ≤ 3} .
(d) T : R3 → R3, onde T (v) é a projeção ortogonal
dos vetores do R3 no plano x−2y+z = 0, seguida
de rotação de 30o em torno do eixo Y .
13. Seja A uma matriz n × k e B uma matriz n × n.
Suponha que a imagem de A está contida no núcleo
de B. Então podemos dizer que:
(a) BA = 0
(b) BA é injetiva
(c) BA é sobrejetiva
(d) BA = I
14. A matriz que representa a transformação linear
T : R3 → R3 definida por
T (x, y, z) = (2x+ 4y,−4x− 5y, 3z) é
(a)
 2 4 0−4−5 0
0 0 3

(b)
 2 −4 04 −5 0
0 0 3

(c)
 2 0 4−4 0 −5
0 3 0

(d)
 2 0 −44 0 −5
0 3 0

15. Seja T uma transformação linear, T : R3 → R2, cuja
imagem é a reta 3x+ 4y = 0 e cujo núcleo é o plano
de equação z = 3x + 4y. Assinale uma matriz que
representa esta transformação linear:
(a)
[
3 4 −1
− 94 −3
3
4
]
(b)
[
3 4 1
3 4 0
]
(c)
 3 34 4
1 0

(d)
 3 − 944 −3
1 34

Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Ma-
rio, Milton, Monique e Paulo
Data: 30 de outubro de 2013
Segunda Prova
1. Calcule det


1 1 1 1
1 2 3 6
1 4 5 2
1 1 4 1

.
(a) 42
(b) 38
(c) 56
(d) 46
2. Considere as afirmativas:
I Seja A uma matriz n× n com n ímpar. Se A =
−AT , então Det(A) = 0
II Sejam A e B matrizes n×n. Se B é não injetiva
então Det(AB) = 0
(a) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa
II é verdadeira
(b) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é verda-
deira
(c) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é
falsa
(d) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é falsa
3. A terceira coluna da inversa da matriz 1 1 11 3 6
1 2 4
 é
(a)
[
3, −5, 2
]T
(b)
[
−2, 3, −1
]T
(c)
[
1,
1
6
,
1
4
]T
(d)
[
1,
1
2
,
1
4
]T
4. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear tal
que T (2, 3, 7) = (0, 1, 0), T (7, 3, 2) = (0, 0, 1) e
T (3, 1, 5) = (1, 0, 0) e seja A a matriz associada a
T . A inversa de A é a matriz:
(a) A−1 =
 3 2 71 3 3
5 7 2

(b) A−1 =
1
75
 15 −45 15−13 29 2
8 11 −7

(c) A−1 =
 3 1 52 3 7
7 3 2

(d) A−1 =
 0 0 11 0 0
0 1 0

5. Seja T : R7 → R3 uma transformação linear sobreje-
tiva. Então:
(a) dim(N(T )) = 4
(b) dim(N(T )) = 3
(c) dim(Im(T )) = 2
(d) dim(Im(T )) = 0
6. Se M2×2 é o espaço vetorial das matrizes 2×2, defini-
mos T : M2×2 →M2×2 através de T (X) = AX−XB
onde A =
[
1 0
1 0
]
e B =
[
0 1
0 1
]
. Então podemos
afirmar que a dimensão da imagem de T é:
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 4
7. Sejam v e u dois vetores ortogonais não nulos. Então
podemos afirmar que:
(a) ||v + u||2 = ||v||2 + ||u||2
(b) ||v − u|| < 〈v, u〉
(c) (〈v, u〉)2 = 〈v, v〉+ 2〈v, u〉+ 〈u, u〉
(d) (〈v, u〉)2 = (〈v, v〉)2 + 2〈v, u〉+ (〈u, u〉)2
8. Sejam A,B e C matrizes tais que C = AB. Consi-
dere as afirmativas:
I Se A é injetiva e B não é injetiva, C pode ser
injetiva.
II Se A é sobrejetiva e B não é sobrejetiva, C pode
ser sobrejetiva.
(a) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é
verdadeira
(b) A afirmativa I é falsa e a afirmativa II é falsa
(c) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é
falsa
(d) A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa II é
verdadeira
Gabarito Pág. 1
9. Seja T : R3 → R3 definida por
T (x, y, z) = (4x+ 3y, 6x− 2y,−2y + 5z).
A matriz que representa T é:
(a)
 4 3 06 −2 0
0 −2 5

(b)
 4 6 03 −2 −2
0 0 5

(c)
 2 4 03 −6 0
0 −2 5

(d)
 2 2 05 −4 0
0 −3 6

10. Seja P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2.
Seja T : P2 → P2 dado por T (p) = p+ dpdx . Seja α =
{1, x, x2} base de P2. Se A é a matriz que representa
a transformação linear escolhendo α base do domínio
e do contra-domínio, então A é:
(a)
1 1 00 1 2
0 0 1

(b)
1 0 01 1 0
0 2 1

(c)
0 2 11 1 0
1 0 0

(d)
0 1 12 1 0
1 0 0

11. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear, v =
(1, 0, 1), u = (0, 1, 0) e w um vetor ortogonal a u e v.
Considere que T (v) = v, T (u) = u e w pertence ao
núcleo de T . Assinale a afirmativa VERDADEIRA
(a) T (2, 1, 0) = (1, 1, 1)
(b) T (1, 0,−1) = (0, 1, 0)
(c) T (−2, 0, 2) = (2, 0, 2)
(d) T (1, 1, 1) = (2, 1, 0)
12. Seja T a TL representada pela matriz A =[
cos
(
π
6
)
− sin
(
π
6
)
sin
(
π
6
)
cos
(
π
6
) ]. A imagem por T da reta y = 0
é:
(a) − sin(π6 )x+ cos(
π
6 )y = 0
(b) cos(π6 )x− sin(
π
6 )y = 0
(c) sin(π6 )x+ cos(
π
6 )y = 0
(d) cos(π6 )x+ sin(
π
6 )y = 0
13. Seja A uma matriz m× n e sejam B e C matrizes in-
vertíveis n× n. Dentre as afirmações abaixo, a única
falsa (isto é, que não é verdadeira para determinadas
escolhas de A, B e C) é:
(a) BC = CB.
(b) N(AB) ⊃ N(B) (onde N denota “núcleo”).
(c) Im(AB) ⊂ Im(A) (onde Im denota “imagem”).
(d)
(
(BC)−1
)T
=
(
B−1
)T (
C−1
)T .
14. Seja T uma transformação linear de Rn em Rn. As-
sinale a afirmativa VERDADEIRA:
(a) Se T é inversível, então T é injetiva e so-
brejetiva.
(b) Se T é injetiva, então T é inversível, mas não é
sobrejetiva.
(c) Se T é sobrejetiva, então T é inversível, mas não
é injetiva.
(d) Se T é inversível, então T é injetiva, mas não é
sobrejetiva.
15. Considere os sistemas lineares em R4 abaixo. Qual
deles possui um plano como conjunto-solução?
(a)
{
x+ y + z + w = 0
x− y − z − w = 0
(b) x+ y + z + w = 0
(c) x+ y + z = 0
(d)
 x+ y + z + w = 0x− y + z + w = 0
x+ y − z + w = 0
16. Seja T : R2 → R3 uma transformação linear e seja
A =
1 11 1
1 2
 a matriz que representa T escolhendo
as bases α = {(1, 0), (1, 1)} para o domínio e β =
{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} para o contra-domínio. A
imagem do vetor (1, 2) é
(a) (5, 4, 3)
(b) (3, 3, 5)
(c) (1, 1, 3)
(d) (3, 5, 3)
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães,
Mário de Oliveira, Milton Ramirez, Monique Car-
mona, Nilson Bernardes e Nilson Roberty
Data: 02 de abril de 2014
Segunda Avaliação
1. Seja T : Rn → Rn uma transformação linear. Assi-
nale a alternativa VERDADEIRA:
(a) v = 0 nunca pode ser um autovetor de T
(b) v = 0 sempre é um autovetor de T
(c) λ = 0 nunca pode ser autovalor de T
(d) λ = 0 sempre é um autovalor de T
2. Observe bem a matriz
A =
1 0 10 0 2
0 0 3

e marque a alternativa VERDADEIRA:
(a) A imagem de A tem dimensão 2
(b) O núcleo de A tem dimensão 2
(c) A possui dois autovalores iguais
(d) A é invertível
3. Os autovalores da matriz
[
3 −1
2 0
]
são:
(a) 2 e 1
(b) 3 e 23
(c) 2 e 23
(d) 3 e 1
4. Observe bem as matrizes abaixo e assinale aquela que
é invertível:
(a)

0 0 4 0
0 0 0 3
0 2 2 2
1 1 1 1

(b)

4 4 0 4
3 0 3 3
2 2 2 2
1 1 1 1

(c)

4 0 4 0
3 0 3 0
2 2 2 0
1 1 1 1

(d)

0 0 0 4
0 0 0 3
0 2 2 2
1 1 1 1

5. Seja A uma matriz 2x2. Assinale a alternativa VER-
DADEIRA:
(a) A pode não ter autovetores
(b) A sempre tem dois autovetores linearmente in-
dependentes
(c) A sempre tem infinitos autovetores
(d) A pode ter apenas um autovetor
6. Seja A uma reflexão do R2 em relação ao eixo Y se-
guida da expansão de 2 na direção do eixo X, man-
tendo o eixo Y fixo. Os autovalores de A são:
(a) 1 e −2
(b) 0 e −2
(c) 1 e 2
(d) 1 e −1
7. A é uma matriz 8× 6 cujas colunas geram um espaço
de dimensão igual a 4. Qual a dimensão do Núcleo de
A?
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 4
8. Assinale abaixo a transformação linear cujo núcleo é
dado pelo conjunto-solução de x−y = 0 e cuja imagem
é dada pelo conjunto-solução de x+ y = 0.
(a) T (x, y) = (x− y,−x+ y)
(b) T (x, y) = (x+ y,−x− y)
(c) T (x, y) = (−x+ y, x+ y)
(d) T (x, y) = (−x− y, x+ y)
9. Seja A =
8 3 15 3 2
1 1 1

Qual das matrizes poderia ser a inversa de A?
(a)
 1 −2 ∗−3 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

(b)
 1 −3 ∗−2 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

(c)
 −3 −2 ∗1 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

(d)
 17 2 ∗1
5 ∗ ∗
∗ ∗ ∗

10. Seja T : R3 → R3 um operador linear cujos autovalo-
res são 1,−1,−1. A dimensão do núcleo de T é:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 1
Gabarito Pág. 1
11. Considere a transformação linear T : R3 → R3. Se
soubermos que os vetores (1,1,0) e (2,2,0) são auto-
vetores de T , podemos afirmar que a dimensão da
imagem de T é:
(a) maior ou igual a 1
(b) maior ou igual a 2
(c) igual a 1
(d) igual a 2
12. Sejam A e B duas matrizes satisfazendo A =
MBM−1, onde B =
[√
3 0
0 1
]
e M =
[
0 −1
1 0
]
.
Quanto vale A6?
(a) A6 =
[
1 0
0 27
]
(b) A6 =
[
27 0
0 1
]
(c) A6 =
[
0 1
27 0
]
(d) A6 =
[
0 27
1 0
]
13. Seja A uma matriz que representa uma transformação
linear T : R2 → R2. Se as colunas de A são linear-
mente independentes podemos afirmar que T NÃO
pode ser uma:
(a) projeção ortogonal na reta cujo vetor di-
retor é(1,1)
(b) reflexão pela reta cujo vetor diretor é (1,1)
(c) rotação de um ângulo não nulo em torno da ori-
gem
(d) transformação que leva o vetor (1,0) no vetor
(2,0)
14. Seja {~e1, ~e2, ~e3} a base canônica do R3 e T : R3 → R3
uma transformação linear tal que T (~e1) = ~e1 + ~e2,
T (~e2) = ~e2 + ~e3 e T (~e3) = ~e3 + ~e1. A matriz de T na
base canônica é:
(a)
1 0 11 1 0
0 1 1

(b)
1 0 11 1 1
0 1 0

(c)
1 0 00 1 0
0 0 1

(d)
0 1 01 1 1
1 0 1

15. Se as coordenadas de um vetor ~v na base
{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} são [6, 4, 2]T , então as co-
ordenadas de ~v na base canônica são:
(a) [12, 6, 2]T
(b) [12, 10, 6]T
(c) [12, 8, 6]T
(d) [12, 8, 2]T
16. Seja β = {~v1, ~v2} e γ = {~e1, ~e2} duas bases do R2
e T : R2 → R2 uma transformação linear tal que
T (~v1) = 2~e1 + 3~e2 e T (~v2) = ~e1 − ~e2. A matriz de T
que transforma vetores na base β em vetores na base
γ é:
(a)
[
2 1
3 −1
]
(b)
[
1 2
−1 3
]
(c)
[
2 3
1 −1
]
(d)
[
1 −1
2 3
]
Gabarito Pág. 2
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 22 de Outubro de 2015
Segunda Prova
1. Os autovalores da matriz
[
−6 14
−7 15
]
são:
(a) 1 e 8
(b) 1 e 9
(c) 4 e 10
(d) 4 e 8
2. Seja A =
 1 0 10 1 0
−2 0 4
. Os autovetores de A associ-
ados ao autovalor λ = 3 são da forma:
(a) t(1, 0, 2), t 6= 0.
(b) t(1, 0, 1), t 6= 0.
(c) t(0, 1, 0), t 6= 0.
(d) t(1, 1, 0), t 6= 0.
3. Seja A uma matriz 2×3 apenas com entradas 0 ou 1.
Se Im(A) = {x− y = 0} e Nuc(A) = {x+ y+ z = 0},
qual a soma das entradas de A?
(a) 6
(b) 0
(c) 4
(d) Não há informação suficiente para se determinar.
4. Seja R a reflexão em R3 pelo plano x + y + z = 0 e
~v = (0, 4, 5). Calcule R~v:
(a) (−6,−2,−1)
(b) (−3, 1, 2)
(c) (−3,−2,−1)
(d) (−6, 2, 1)
5. Seja A uma matriz 3×3, cujo polinômio característico
é p(λ) = −(λ+ 1)(λ− 1)2. Então:
(a) A pode ser uma reflexão por um plano;
(b) A pode ser uma rotação em torno de uma reta;
(c) A pode ser uma projeção em uma reta;
(d) A pode ser uma projeção em um plano;
6. A matriz A =
[
1 2 3
4 5 6
]
:
(a) é sobrejetiva.
(b) é injetiva.
(c) é bijetiva.
(d) não é nem sobrejetiva, nem injetiva.
7. Qual dos sistemas abaixo representa um plano (isto
é, um subespaço de dimensão 2) em R5?
(a)
 2x+ y + z + 2w + t = 0x− y + 2z + w − 2t = 0
x+ y − z + w + 3t = 0
(b)
 2x+ y + z + 2w + t = 0x− y + 2z + w − 2t = 0
x+ 2y − z + w + 3t = 0
(c)
{
x+ y + z + w + t = 0
(d)
{
x+ y + z + w + t = 0
x− y − z − w − t = 0
8. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear tal que
T (1, 2) = (2, 3) e T (2, 4) = (2, 5). Pode-se afirmar
que:
(a) NÃO existe tal transformação linear.
(b) T ( x, y ) = ( x+ 1, y + 1 ).
(c) T ( x, y ) =
[
2 2
3 5
] [
1 2
2 4
]−1 [
x
y
]
.
(d) Existem infinitas transformações assim.
9. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear tal que
T (1, 2, 3) = (2, 3, 4) e T (1, 3, 4) = (2, 4, 5). Pode-se
afirmar que:
(a) Existem infinitas transformações assim.
(b) T ( x, y, z ) =
 2 0 01 1 0
1 0 1
 xy
z
.
(c) T ( x, y, z ) = ( x+ 1, y + 1, z + 1 ).
(d) NÃO existe tal transformação linear.
10. Seja A uma matriz 5× 7 cujo núcleo tem dimensão 2.
Pode-se afirmar que:
(a) A~x = ~b tem infinitas soluções para todo ~b.
(b) A imagem de A tem dimensão 3.
(c) ~0 é a única solução de A~x = ~0.
(d) As linhas de A são linearmente dependentes.
11. A matriz 2× 2 que tem autovetores (3, 2) e (5, 7) as-
sociados, respectivamente, aos autovalores π e
√
2 é:
(a)
[
3 5
2 7
] [
π 0
0
√
2
] [
3 5
2 7
]−1
.
(b)
[
3 5
2 7
]−1 [
π 0
0
√
2
] [
3 5
2 7
]
.
(c)
[
3 5
2 7
] [ √
2 0
0 π
] [
3 5
2 7
]−1
.
(d)
[
3 2
5 7
]−1 [
π 0
0
√
2
] [
3 2
5 7
]
.
Gabarito Pág. 1
12. (QUESTÃO EXTRA) Seja A uma matriz 3×3 tal
que T (x) = Ax é uma rotação em torno de uma reta
passando pela origem. Qual dos seguintes polinômios
pode ser o polinômio característico de A?
(a) p(λ) = −λ3 + λ2 − λ+ 1.
(b) p(λ) = −λ3 + λ2 − λ.
(c) p(λ) = −(λ− 1)
(
λ−
√
2/2
) (
λ+
√
2/2
)
.
(d) p(λ) = −λ3 + λ2 + λ− 1.
13. Seja A =

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
. Pode-se afirmar que:
(a) Existem 3 autovetores linearmente inde-
pendentes associados ao autovalor λ = 0 e
λ = 4 também é um autovalor.
(b) Os autovalores de A são λ = 0, λ = 1 e λ = 4.
(c) Existem 3 autovetores linearmente independen-
tes associados ao autovalor λ = 0 e λ = 1 tam-
bém é um autovalor.
(d) Existem 3 autovetores linearmente independen-
tes associados ao autovalor λ = 1 e λ = 4 tam-
bém é um autovalor.
14. (QUESTÃO EXTRA) Seja A uma matriz qua-
drada n×n. Lembrar que A2 = AA. Pode-se afirmar
que:
(a) Nuc(A) ⊂ Nuc(A2) e Im(A2) ⊂ Im(A).
(b) Nuc(A2) ⊂ Nuc(A) e ImA ⊂ Im(A2).
(c) Nuc(A2) ⊂ Nuc(A) e Im(A2) ⊂ Im(A).
(d) Nuc(A2) ⊂ Nuc(A) e Im(A) ⊂ Im(A2).
15. Seja p ∈ P2(R). Considere a transformação linear
T : P2(R) → P2(R) dada por T (p) =
(
x2p′
)′. Indi-
que a resposta correta. (Abaixo, usamos a notação
Span{~v1, . . . , ~vk} para indicar o espaço gerado pelos
vetores ~v1, . . . , ~vk.)
(a) Nuc(T ) = Span{1}, Im(T ) = Span{x, x2}.
(b) Nuc(T ) = Span{1, x}, Im(T ) = Span{x2}.
(c) Nuc(T ) = Span{1, 1 + x}, Im(T ) =
Span{x, x2}.
(d) Nuc(T ) = Span{x, x2}, Im(T ) = Span{1}.
16. Seja ~v um vetor que é autovetor de duas matrizes A
e B, então:
I. ~v é autovetor da matriz AB.
II. ~v é autovetor da matriz A+B.
(a) I e II são verdadeiras.
(b) I e II são falsas.
(c) I é verdadeira, mas II é falsa.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
17. Seja A uma matriz 2×2 com polinômio característico
p(λ) = (1− λ)2. Considere as afirmações:
I. A = I.
II. Nuc(A− I) = R2.
(a) I e II são falsas.
(b) I é verdadeira, mas II é falsa.
(c) I e II são verdadeiras.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 29 de junho de 2012
Terceira Prova
1. A matriz A3×3 tem autoespaços 〈(1, 1, 4)〉 e
〈(1, 0, 1), (3, 1, 2)〉 associados, respectivamente, aos
autovalores 2 e 1. Então:
(a) A =


1 1 3
1 0 1
4 1 2


−1 

2 0 0
0 1 0
0 0 1




1 1 3
1 0 1
4 1 2


(b) A =


1 1 4
1 0 1
3 1 2


−1 

2 0 0
0 1 0
0 0 1




1 1 4
1 0 1
3 1 2


(c) A =


1 1 3
1 0 1
4 1 2




2 0 0
0 1 0
0 0 1




1 1 3
1 0 1
4 1 2


−1
(d) A =


1 1 4
1 0 1
3 1 2




2 0 0
0 1 0
0 0 1




1 1 4
1 0 1
3 1 2


−1
(e) Não sei.
2. Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Seja H
um subespaço gerado por 3 vetores não nulos de V .
Então a dimensão do complemento ortogonal de H
pode ser no máximo igual a 4.
(a) A afirmatica é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
3. Considere o produto interno em P2 (espaço dos po-
linômios de grau menor ou igual a 2) dado por:
〈p, q〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
A projeção ortogonal de x2 + 1 na direção dada pelo
vetor x+ 1 é igual a
(a) 0.
(b) x5 − 15 .
(c) x5 +
1
5 .
(d) x+ 1.
(e) Não sei.
4. Seja T : R2 → R2 uma reflexão ortogonal em relação a
uma reta. Sabendo-se que v = (−1, 2) é um autovetor
associado ao autovalor 1, T (x, y) é dado por:
(a) 15 (9x+ 2y, 2x+ 6y)
(b) 15 (−3x− 4y,−4x+ 3y)
(c) 13 (−5x− 4y, 4x+ 5y)
(d) 15 (−7x− 6y,−6x+ 2y)
(e) Não sei.
5. A equação que modela um determinado fenômeno fí-
sico é dada pela função f(x) = ax3+b. Alguns experi-
mentos foram realizados com os seguintes resultados:
x y
-2 -16
0 -3
2 16
Os valores de a, b de forma a obter a melhor aproxi-
mação no sentido dos mínimos quadrados são:
(a) a = 8, b = −1
(b) a = 2, b = −1
(c) a = 2, b = 4
(d) a = 4, b = 2
(e) Não sei.
6. Seja H um espaço gerado por 3 vetores de R5. Então
existe um conjunto ortonormal de 3 vetores contidos
em H.
(a) A afirmatica é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
7. Seja A uma matriz quadrada e sejam ~u, ~v e ~w veto-
res tais que A~u = 0 e ~w = AT~v. Então ~u e ~w são
ortogonais entre si.
(a) A afirmatica é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.(c) Não sei.
8. Determine o volume do paralelepípedo:
A = (2, 2, 2)
B = (4, 4, 2)
C = (7, 9, 4)
D = (5, 7, 4)
E = (6, 6, 4)
F = (8, 8, 4)
G = (11, 13, 6)
H = (9, 11, 6)
(a) 6
(b) 4
(c) 9
(d) 8
(e) Não sei.
9. Considere os vetores {(1, 1, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 2)}. En-
contre um vetor de norma 1 ortogonal aos 3 vetores
acima. O módulo da soma de suas entradas é igual a:
(a) 3√
11
(b) 2√
6
(c) 1√
3
(d) 1
(e) Não sei.
Nome: Teste 481, pág. 1
10. Seja A uma matriz n × n e b ∈ Rm. Então Ax =
PIm(A)b se e somente se A
TAx = AT b.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmatica é Falsa.
(c) Não sei.
11. Considere o vetor ~v1 = (1, 1) e a reta r passando pela
origem cuja direção é dada pelo vetor ~v2 = (1, 2). O
vetor de r mais próximo de ~v1 possui norma igual a:
(a)
√
5
(b) 1√
5
(c)
√
2
(d) 3√
5
(e) Não sei.
12. Seja A n×n. Se dim(Im(A)) < n então 0 é autovalor
de AT .
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmatica é Falsa.
(c) Não sei.
13. Se Det(A) = 0, então ou A possui pelo menos uma
linha nula, ou A possui pelo menos uma coluna nula.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmatica é Verdadeira.
(c) Não sei.
14. A é uma matriz m× n, x ∈ Rn e y ∈ Rm. Então
〈Ax, y〉 =
〈
x,AT y
〉
,
onde os produtos internos são os produtos internos
usuais de Rm e Rn
(a) A afirmatica é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
15. Seja A uma matriz m×n, com m > n. Então Ax = b
pode não ter solução, mas ATAx = AT b sempre tem
solução.
(a) A afirmatica é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
16. Seja A uma matriz quadrada qualquer. Se ~v ∈ Núcleo
(A), então ~v ∈ Núcleo (AT ).
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmatica é Verdadeira.
(c) Não sei.
17. β = {(1, 1, 1), (−1,−1, 2), (1,−1, 0)} é uma base or-
togonal de R3. A soma das coordenadas de ~v =
(2, 0, 1) na base β são:
(a) 3
(b) −3
(c) 2
(d) 0
(e) Não sei.
18. Sejam A e B matrizes quadradas n× n. Se A não é
injetiva, então Det(AB) = 0.
(a) A afirmatica é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
19. Sejam α = (1, 0), (0, 1) e β = {(5, 3), (7, 4)} duas ba-
ses de R2. A matriz de mudança da base α para a
base β é igual a
(a)
[
5 7
3 4
]
(b)
[
−4 3
7 −5
]
(c)
[
−4 7
3 −5
]
(d)
[
5 3
7 4
]
(e) Não sei.
Nome: Teste 481, pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario,
Milton, Monique e Umberto
Data: 12 de julho de 2013
Terceira Prova
1. Considere no espaço vetorial P2 (isto é, os polinômios
de grau ≤ 2) o produto interno dado por < p,q >=
p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2). Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) p(x) = x2−x e q(x) = x2−2x são ortogonais
(b) p(x) = x2 e q(x) = x são ortogonais
(c) p(x) = x2 − x e q(x) = x2 + x são ortogonais
(d) p(x) = x2 e q(x) = 2x− 1 são ortogonais
2. Considere o produto interno usual do Rn e seja S um
conjunto de vetores não nulos. Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) Se S é linearmente dependente então os
vetores de S não podem ser todos ortogo-
nais entre si
(b) Se S é linearmente independente então os vetores
de S são todos ortogonais entre si
(c) Se S é linearmente independente então pelo me-
nos dois vetores de S são ortogonais entre si
(d) Se não existirem dois vetores de S ortogonais
entre si então S é linearmente dependente
3. Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que sua imagem
é gerada pelo vetor (1, 1, 1). Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) O núcleo de AT é o conjunto de soluções
de x+ y + z = 0
(b) O núcleo de AT é a reta gerada pelo vetor
(−1,−1,−1)
(c) A imagem de AT é o conjunto de soluções de
x+ y + z = 0
(d) O núcleo de A é o conjunto de soluções de x +
y + z = 0
4. Dizemos que a matriz A é anti-simétrica se A =
−AT e simétrica se A = AT . Assinale a afirmativa
FALSA:
(a) Se A é simétrica e triangular então A é a
matriz nula
(b) Se A é simétrica e anti-simétrica então A é a
matriz nula
(c) Se A é anti-simétrica e triangular então A é a
matriz nula
(d) Se A é anti-simétrica e diagonal então A é a
matriz nula
5. Seja A uma matriz qualquer. Assinale a afirmativa
FALSA:
(a) Se A é injetora então AT é injetora
(b) Se A é inversível então AT é inversível
(c) Se A é diagonalizável então AT é diagonalizável
(d) Se A é simétrica então AT é simétrica
6. Seja pA o polinômio característico da matriz A. As-
sinale a afirmativa FALSA:
(a) Se todas as raízes de pA são reais então A
é diagonalizável
(b) Se todas as raízes de pA são complexas então A
não tem autovetores
(c) Se todas as raízes de pA são iguais então A tem
um autovetor
(d) As raízes de pA são iguais às raízes de pAT
7. Suponha que a matriz A3×3 tem dois autovalores dis-
tintos, λ1 e λ2, e que v = (1, 1, 0) e w = (0, 1, 1)
são autovetores associados ao autovalor λ1. Qual dos
vetores abaixo poderia ser um autovetor associado a
λ2?
(a) (1, 2, 2)
(b) (1, 2, 1)
(c) (−1, 0, 1)
(d) (−1, 1, 2)
8. Considere a matriz A =
[
1 −2
1 3
]
. Quais são os seus
autovalores?
(a) 2− i e i+ 2
(b) i e −i
(c) 1− i e i+ 1
(d) −i− 1 e i− 1
9. Se λ1 = −2, λ2 = −1 e λ3 = 0 são os autovalores
de uma matriz A, então os autovalores de (A+ I)200
são:
(a) 1, 1 e 0
(b) 1,−1 e 0
(c) −(2200), 1 e 0
(d) 2200, 1 e 0
10. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear que mul-
tiplica o vector (−1, 1) por 4 e o vetor (1, 2) por 14 .
Seja A a matriz de T na base canônica. Calcule a
soma dos elementos da primeira linha de A.
(a) 32
(b) − 43
(c) 0
(d) 14
Gabarito Pág. 1
11. Seja P3 os espaço dos polinômios de grau ≤ 3, com
um produto interno dado. O complemento ortogonal
do espaço gerado pelos vetores {x − 1, x + 1, x2 − 1}
tem dimensão:
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) 3
12. Seja T a projeção ortogonal do R3 no plano 2x+3y−
z = 0, seguida da multiplicação por 4. Assinale a
afirmativa VERDADEIRA:
(a) Os autovalores de T são 4, 4 e 0
(b) Os autovalores de T são 4, 1 e 0
(c) Os autovalores de T são 4, -4 e 0
(d) Os autovalores de T são 4, 0 e 0
13. Considere o produto interno usual de R4. Calcule a
projeção ortogonal do vetor (0, 0, 1, 0) à reta na dire-
ção do vetor (1, 1, 1, 1).
(a) ( 14 ,
1
4 ,
1
4 ,
1
4 )
(b) ( 12 ,
1
2 ,
1
2 ,
1
2 )
(c) ( 34 ,
3
4 ,
3
4 ,
3
4 )
(d) (1, 1, 1, 1)
14. Considere o produto interno usual de R4 e sejam u =
(2, 0, 1,−1) e v = (2, 1, 1, 1). Calcule a distância de
u a v.
(a)
√
5
(b) 5
(c) 1
(d) −1
15. Seja A =
−2 1 −10 5 2
0 0 −1
. O vetor (−2, α, β) é um
autovetor associado ao autovalor 5. O valor de α+ β
é:
(a) −14
(b) −8
(c) −10
(d) −12
16. A equação que modela um determinado fenômeno fí-
sico é dada pela função f(x) = ax3+b. Alguns experi-
mentos foram realizados com os seguintes resultados:
x y
-1 -4
0 1
1 12
Os valores de a, b de forma a obter a melhor aproxi-
mação no sentido dos mínimos quadrados são:
(a) a = 8, b = 3
(b) a = 1, b = 103
(c) a = 4, b = 73
(d) a = 2, b = 7
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mar-
cello, Mario, Milton, Monique e Paulo
Data: 29 de novembro de 2013
Terceira Prova
1. Sabendo que o vetor (1, 2) é um autovetor da matriz
A =
[
a 1
2 d
]
com autovalor associado igual a 3, então
a+ d é:
(a) a+ d = 3
(b) a+ d = 5
(c) a+ d = 7
(d) a+ d = 1
2. Seja T : R2 → R2 uma reflexão ortogonal em relação
a uma reta. Sabendo-se que v = (−1, 4) é um auto-
vetor associado ao autovalor 1, a matrix de T na base
canônica é dada por:
(a)
[
− 1517 −
8
17
− 817
15
17
]
(b)
[
− 1213 −
5
13
− 513
12
13
]
(c)
[
− 35 −
4
5
− 45
3
5
]
(d)
[
− 45 −
3
5
− 35
4
5
]
3. Seja T : R2 → R2 uma reflexão do plano R2 sobre
uma reta. Então seu polinômio característico p(λ) é:
(a) p(λ) = λ2 − 1
(b) p(λ) = (λ− 1)2
(c) p(λ) = λ2(λ− 1)
(d) p(λ) = λ(λ− 1)
4. Seja T : R3 → R3 linear e β = {v1,v2,v3} base
do R3 tal que T (v1) = 7v1, T (v2) = v1 + 3v3 e
T (v3) = v1−2v3. Qual dentre as matrizes abaixo é a
representação matricial de T com a base β no domínio
e contradomínio?
(a) A =
7 1 10 0 0
0 3 −2
.
(b) A =
7 0 00 4 0
0 0 −1
.
(c) A =
7 001 0 3
1 0 −2
.
(d) A =
7 1 10 0 0
1 3 −2
.
5. Dada a matriz A =
1 2 03 0 0
0 0 2
, os autovetores de A
associados ao menor autovalor de A são da forma:
(a) t(2,−3, 0), t 6= 0.
(b) t(0, 0, 1), t 6= 0.
(c) t(1, 1, 0), t 6= 0.
(d) t(1, 2, 0), t 6= 0.
6. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3| − 2 z + 2 y + x = 0} e
b = (1, 1, 2). A soma das coordenadas do vetor de S
mais próximo de b é
(a) 379
(b) 43
(c) 349
(d) 269
7. Dado A =
1 2 b3 a 9
2 4 6
 e sabendo que o Núcleo(A)
tem dimensão igual a 2, qual o valor de a+ b?
(a) a+ b = 9.
(b) a+ b = 6
(c) a+ b = 2
(d) a+ b = 4
8. Um experimento de laboratório é modelado pela
equação y(x) = α+ βx3. Se os valores experimentais
medidos para (x, y(x)) são (−2,−32), (0, 6) e (2, 32),
então o modelo que melhor ajusta os dados experi-
mentais (no sentido dos mínimos quadrados) é:
(a) y(x) = 4− 2x3
(b) y(x) = 2− x3
(c) y(x) = 4 + 2x3
(d) y(x) = 2 + 4x3
9. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(5, 3), (7, 4)} duas
bases de R2. A matriz de mudança da base α para a
base β é igual a
(a)
[
−4 7
3 −5
]
(b)
[
5 7
3 4
]
(c)
[
−4 3
7 −5
]
(d)
[
5 3
7 4
]
Gabarito Pág. 1
10. Se A =
[
1 −1
1 1
]
, qual dentre as matrizes abaixo é
igual a A10
(a) A =
[
0 −32
32 0
]
.
(b) A =
[
−32 −32
32 −32
]
.
(c) A =
[
−64 0
0 −64
]
.
(d) A =
[
−64 64
−64 −64
]
.
11. Considere as afirmativas:
I Toda matriz triangular superior é diagonalizá-
vel.
II A matriz
 a d ed b f
e f c
 é diagonalizável.
(a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(b) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(c) Ambas as afirmativas são falsas.
(d) Ambas as afirmativas são verdadeiras
12. A é uma matriz que projeta cada vetor de R3, ortogo-
nalmente, sobre o plano −z+ 2 y+ x = 0. A segunda
coluna da matriz A é:
(a)
[
− 13
1
3
1
3
]T
(b) [−2 2 2]T
(c)
[
1
3 −
1
6 0
]T
(d)
[
1
6
1
3
5
6
]T
13. Seja T : P2 → P3 uma transformação linear tal que
T (x2 + 2x+ 3) = 2x3 + 1x2 + 2x+ 1
T (x2 + x+ 3) = 2x3 + 0x2 + 2x+ 0
T (x2 + 2x+ 4) = 1x3 + 1x2 + 1x+ 1
Qual o valor de T (x)?
(a) x2 + 1
(b) −x3 − x
(c) −x2 − 1
(d) 2x3 + 2x
14. Dois estudantes de álgebra linear tiveram que verifi-
car a proposição "o vetor zero de um espaço vetorial
com produto interno é ortogonal a todos os demais
vetores". Cada um iniciou a sua argumentação da
seguinte maneira:
I Estudante A: < v,~0 >=< v, 0u >= ...
II Estudante B: < v,~0 >=< v,~0 +~0 >= ...
Quem conseguiu comprovar a proposição?
(a) Ambos os estudantes.
(b) Somente o estudante A.
(c) Somente o estudante B.
(d) Nenhum dos estudantes.
15. A é uma matriz 7×7 cujas colunas geram um espaço
de dimensão igual a 5. Qual a dimensão do Núcleo de
A?
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 4
16. Seja T a transformação linear representada pela ma-
triz A =
[
4 2
2 1
]
. A imagem por T da reta x− y = 0
é:
(a) 3x− 6 y = 0
(b) 4x− 6 y = 0
(c) 4x− 7 y = 0
(d) 3x− 7 y = 0
17. Qual dos argumentos abaixo é aceitável?
(a) Se X1 e X2 são soluções de AX = B, então
Xs = (X1 +X2) é solução de AX = 2B, pois
AXs = A(X1 +X2) = A(X1) +A(X2).
(b) Se λ é autovalor de A, então λ−1 é autovalor de
A−1, pois Av = λv ⇐⇒ (Av)−1 = (λv)−1 ⇐⇒
A−1v−1 = λ−1v−1.
(c) Suponha que λ 6= 0 é autovalor de A e ~v 6= ~0 é
um autovetor associado. Então, como A~v = λ~v,
podemos concluir que A = λ
(d) det(A−1) = 1det(A) , pois det(A
−1) = det( 1A ) =
1
det(A) .
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães,
Mário de Oliveira, Milton Ramirez, Monique Car-
mona, Nilson Bernardes e Nilson Roberty
Data: 15 de maio de 2014
Terceira Prova
1. A imagem de AT é o plano 3x+ y− 3z = 0. Sabendo
que
A =
2 a −1* * −1
2 * *
, então o valor de a é:
(a) −9
(b) 9
(c) 10
(d) −10
2. Seja V o espaço formado pelas combinações lineares
das funções {e2x, 2xe2x}. Considere em V a trans-
formação linear T que a cada vetor associa a derivada
dessa função. Então:
(a) T tem dois autovalores distintos e duas
direções de autovetores
(b) T tem dois autovalores iguais e apenas uma di-
reção de autovetores
(c) T tem dois autovalores iguais e duas direções de
autovetores
(d) T tem autovalores complexos
3. Considere o conjunto de polinômios de grau 2, P2,
dotado do produto interno 〈p,q〉 = p(−1)q(−1) +
p(0)q(0) + p(1)q(1). Seja S =
〈
x2
〉
. Assinale o con-
junto que não está completamente contido em S⊥.
(a) {x2 − 1, 2x2 + 3x+ 2, x}
(b) {3x2 − 3x− 3, 5x, x2 − 1}
(c) {x2 − 1, 8x, 2x2 − 3x− 2}
(d) {2x2 − 2, 0, x2 + 2x− 1}
4. Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no
plano x+ y + z = 0
(a)
 1 2 1−2 1 2
1 −3 −3

(b)
1 −2 12 1 −3
1 2 −3

(c)
1 2 31 2 3
1 2 3

(d)
 1 2 1−2 1 2
2 −2 −2

5. Seja R : R2 → R2 uma reflexão pela reta y = x e
S : R2 → R2 uma projeção na reta y = x. Qual o
polinômio característico p(λ) de T = RS?
(a) p(λ) = λ(λ− 1)
(b) p(λ) = (λ+ 1)2
(c) p(λ) = λ2
(d) p(λ) = λ(λ+ 1)
6. Considere o produto interno F : R3 × R3 → R, x =
(x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), definido por
F (x,y) = 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2 + x3y3.
Determine a soma das entradas da projeção ortogonal
do vetor (2, 0, 0) na direção do vetor (1, 2, 1).
(a) 0
(b) 4
(c) 1
(d) 3
7. Seja A uma matriz n × n. Assinale a alternativa
FALSA:
(a) Se A2 = I então o único autovalor de A é
1
(b) Se Det(A) = 0 então zero é autovalor de A
(c) Se A2 = A então os autovalores de A só podem
ser 0 ou 1
(d) Se as colunas de A são linearmente independen-
tes então zero não é um autovalor de A
8. SejaA =
[
−2 4 0
1 −2 0
]
. Indique a alternativaVER-
DADEIRA
(a) O complemento ortogonal ao espaço ge-
rado pelas colunas de A é {(x, 2x), x ∈ R}
(b) O complemento ortogonal ao núcleo de AT é
{(x, 2x), x ∈ R}
(c) O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas
linhas de A é {(x, 2x), x ∈ R}
(d) O complemento ortogonal ao núcleo de A é
{(x, 2x), x ∈ R}
9. A dimensão da imagem de A é 2 e seu polinômio
característico é p(λ) = −λ2(λ − 1). Assinale a alter-
nativa VERDADEIRA
(a) A dimensão do autoespaço associado ao
autovalor zero é igual a 1.
(b) Det(A+ I) = 0
(c) A matriz A é diagonalizável
(d) A dimensão do autoespaço associado ao autova-
lor 1 é igual a 2.
Gabarito Pág. 1
10. Quais são todos os valores de a ∈ R para os quais o
operador linear T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) =
(ax+ 2ay + z, ay + 2 z, ax+ y − z) é invertível?
(a) a 6∈ {0, 1}
(b) a 6= 0
(c) a 6∈ {0,−1}
(d) a qualquer
11. A =
 56 13 − 161
3
1
3
1
3
− 16
1
3
5
6
 é a matriz que realiza a proje-
ção ortogonal em um subespaço W . O autoespaço
associado ao autovalor de menor módulo é:
(a) A reta na direção do vetor (1,−2, 1)
(b) x− 2y + z = 0
(c) x+ y − 2z = 0
(d) A reta na direção do vetor (1, 1,−2)
12. A transformação linear T realiza a projeção ortogonal
dos vetores de R3 no plano 2x− 5y+8z = 0, seguida
da multiplicação por 2. Então é FALSO afirmar
que:
(a) 1 e 0 são autovalores de T
(b) T é diagonalizável
(c) T não é invertível
(d) O posto de T é igual a 2
13. Sabemos que v é um vetor de R3 e as projeções orto-
gonais de v nos vetores u1 e u2 são respectivamente
(1,0,2) e (2,1,1). Considere as afirmativas:
I A projeção ortogonal do vetor v no subespaço
gerado por {u1,u2} é (3,1,1).
II Se v não pertencer ao subespaço gerado por
{u1,u2}, então {v,u1,u2} formam uma base
para o R3
(a) A afirmativa I é falsa e a II é verdadeira
(b) A afirmativa I é falsa e a II é falsa
(c) A afirmativa I é verdadeira e a II é verdadeira
(d) A afirmativa I é verdadeira e a II é falsa
14. Seja A uma matriz n× n. posto(A) é a dimensão da
imagem de A. Considere as afirmativas:
I. A~x = ~0 se e somente se ATA~x = ~0.
II. posto(A) = posto(ATA).
(a) A afirmativa (I.) é verdadeira e (II.) é ver-
dadeira.
(b) A afirmativa (I.) é verdadeira e (II.) é falsa.
(c) A afirmativa (I.) é falsa e (II.) é falsa.
(d) A afirmativa (I.) é falsa e (II.) é verdadeira.
15. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem.
Sabendo-se que
detA = 4 e detB = 2,
podemos garantir que:
(a) det(AB) = 8 e det(AB−1) = 2
(b) det(A+B) = 6 e det(A−B) = 2
(c) det(A+B) = 6 e det(AB) = 8
(d) det(A−B)= 2 e det(AB−1) = 2
16. Considere a matriz 1 2 −20 −1 1
−4 0 0
 .
Afirmamos que existem uma matriz invertível P e
uma matriz diagonal D tais que
P−1AP = D.
Qual dos itens abaixo nos dá P e D corretas?
(a) P =
 0 −3 −31 1 2
1 4 −4
 e D =
 0 0 00 3 0
0 0 −3

(b) P =
 0 −3 −31 1 2
1 4 −4
 e D =
 −3 0 00 3 0
0 0 0

(c) P =
 −3 0 −31 1 2
4 1 −4
 e D =
 −3 0 00 3 0
0 0 0

(d) P =
 −3 0 −31 1 2
4 1 −4
 e D =
 0 0 00 3 0
0 0 −3

Gabarito Pág. 2
UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro
IM - Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II - MAE 125
Professor: Francesco Noseda, Luiz Carlos Guima-
rães, Mário de Oliveira, Milton Ramirez
Data: 25 de fevereiro de 2016
Prova III - 2015/02 (out)
1. Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear
a seguir tenha solução única?
1 −3 2 3
−2 9 −5 −6
−1 0 −3 + α −3
2 0 2 12


x
y
z
w
 =

0
1
2 + β
2

(a) α 6= 2, β ∈ R
(b) α 6= 1, β ∈ R
(c) α = 3, β 6= −2
(d) α 6= 1, β = −3
2. Se as coordenadas de um vetor ~v na base β =
{(1, 0, 0), (2,−1,−1), (−1, 1, 0)} são [~v]β = (2, 5,−2),
então as coordenadas de ~v na base canônica são:
(a) [~v]ε = (14,−7,−5)
(b) [~v]ε = (5, 2, 7)
(c) [~v]ε = (2, 1, 3)
(d) [~v]ε = (12, 0, 2)
3. Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz−9 12 1−6 9 −1
0 0 3

(a) 9
(b) 10
(c) 7
(d) 11
4. Seja W o espaço gerado pelas linhas de
1 1 −2 1
1 −1 −1 −1
3 9 −9 9
−3 3 3 3
. Qual a dimensão do comple-
mento ortogonal de W?
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 0
5. Considere a matriz A =
[
−8 3
−18 7
]
. Qual é a direção
do vetor associado ao autovalor de maior módulo
(a) A direção do vetor (−1,−2)
(b) A direção do vetor (1, 3)
(c) A direção do vetor (1,−2)
(d) A direção do vetor (−1, 3)
6. Considere o produto interno F : R3 × R3 → R,
v = (x1, y1, z1), u = (x2, y2, z2), definido por
F (v,u) = 2x1x2 − 2x1z2 + y1y2 − 2x2z1 + 3z1z2.
Determine a distância entre o vetor (0, 0, 2) e o vetor
(2,−1, 1).
(a) 2
√
5
(b)
√
42
(c)
√
10
(d) 3
√
5
7. Considere o produto interno usual de R4. Calcule a
projeção ortogonal do vetor (2, 2, 2, 2) no subespaço
gerado pelo vetor (−2, 1, 2, 1).
(a) (− 45 ,
2
5 ,
4
5 ,
2
5 )
(b) (− 65 ,
3
5 ,
6
5 ,
3
5 )
(c) (− 85 ,
4
5 ,
8
5 ,
4
5 )
(d) (− 25 ,
1
5 ,
2
5 ,
1
5 )
8. Para quais valores de α os vetores v = (1, 0, 1, α) e
u = (α, 20,−11, 0) NÃO SÃO ortogonais entre si?
(a) α 6= 11
(b) α = 11
(c) α = −11
(d) α 6= −11
9. Em Rn com o produto interno usual, seja W um su-
bespaço não trivial. Sejam PW e RW respectivamente
a projeção e a reflexão ortogonais com respeito a W .
Considere as seguintes afirmações:
(I) ~u+RW (~u) é ortogonal a W .
(II) ||~u+ PW (~u)||2 = ||~u||2 + ||PW (~u)||2.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Gabarito Pág. 1
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Considere
as seguintes afirmações:
(I) Todo conjunto gerador de V é linearmente inde-
pendente.
(II) Dados dois subespaços de V , a dimensão do
subespaço obtido pela interseção entre eles não
pode ser maior que n.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
(d) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
11. Considere as seguintes afirmações:
(I) O núcleo e a imagem de uma matriz real Ak×n
são subespaços do Rn e a soma de suas dimen-
sões é igual a n.
(II) O conjunto formado pelas somas de todos os
possíveis múltiplos de p(x) = 2x3 + 3x − 2 e de
q(x) = x3+x2+x−1 é um subespaço do espaço
de polinômios.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
(d) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
12. Considere as seguintes afirmações:
(I) Um conjunto de vetores é linearmente indepen-
dente se nenhum deles é múltiplo escalar dos de-
mais.
(II) Se U = {u1, ...,ul} e W = {w1, ...,wk} são
dois conjuntos linearmente dependentes, então
podemos ter U ∩W linearmente independente.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
(d) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
13. Em um espaço vetorial munido com produto interno,
considere as seguintes afirmações:
(I) Qualquer conjunto ortogonal de vetores não nu-
los é linearmente dependente.
(II) Dados dois vetores não nulos ~u e ~v, temos
||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
14. Considere as seguintes afirmações:
(I) Seja A uma matriz 7 × 7 não diagonalizável,
então A possui 7 autovetores linearmente inde-
pendentes.
(II) Se uma matriz é diagonalizável, então ela é
simétrica.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
15. Considere as seguintes afirmações:
(I) Os autovalores de uma matriz são os mesmos da
sua forma escalonada.
(II) Se λ 6= 0 é autovalor de A, uma matriz in-
vertível, então λ−1 é autovalor de A−1 com os
mesmos autovetores de A.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(b) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
(d) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
Gabarito Pág. 2
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 17 de Novembro de 2015
Terceira Prova
1. Considere a base ortogonal
β = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0,−1), (0, 1, 0,−1, 0),
(1, 1,−4, 1, 1), (1,−1, 0,−1, 1)}. A quinta coorde-
nada do vetor ~v = (0, 5, 15, 5,−10) com relação à base
β é: (Dica: use a ortogonalidade da base para evitar
contas!)
(a) −5
(b) 3
(c) 0
(d) −3
2. Questão EXTRA
Seja P2 o espaço vetorial dos polinômios da forma
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 e seja P3 o espaço vetorial
dos polinômios da forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 +
a3x
3. Em ambos os espaços, defina a forma bilinear
〈p, q〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1). Considere
as afirmações:
I. 〈·, ·〉 é um produto interno em P2.
II. 〈·, ·〉 é um produto interno em P3.
(a) I é verdadeira, II é falsa.
(b) Ambas são verdadeiras.
(c) Ambas são falsas.
(d) I é falsa, II é verdadeira.
3. A projeção ortogonal do vetor (13,−12,−14) sobre o
plano z = 4x− 5y é o vetor:
(a) (1, 3,−11)
(b) (12,−15,−3)
(c) (4,−5,−1)
(d) (6,−5, 7)
4. Seja A =MDM−1:
A =
 −5 3 14−2 1 5
0 0 1

︸ ︷︷ ︸
M
 1 0 00 4 0
0 0 0

︸ ︷︷ ︸
D
 1 −3 12 −5 −3
0 0 1

︸ ︷︷ ︸
M−1
.
Seja ~v = (12, 4, 1). Quando n tende a infinito, a di-
reção de An~v converge para a direção da reta:
(a) span{(3, 1, 0)}
(b) span{(14, 5, 1)}
(c) span{(−3,−5, 0)}
(d) span{(9, 3, 1)}
5. Seja H um subespaço de V e ~w ∈ V . Sejam ~u e ~v as
projeções de ~w em H e H⊥, respectivamente:
I. ~w = ~u+ ~v
II. ||~w|| = ||~u||+ ||~v||
(a) I é verdadeira, mas II é falsa.
(b) I e II são verdadeiras.
(c) I e II são falsas.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
6. Qual dos sistemas abaixo sempre possui solução?
(a) AT~x = ~b, onde ~b ∈ N(A)⊥.
(b) A~x = ~b, onde ~b ∈ Im(A)⊥.
(c) A~x = ~b, onde ~b ∈ N(A).
(d) AT~x = ~b, onde ~b ∈ Im(A).
7. Seja T a projeção ortogonal no plano x+2y+3z = 0.
Assinale abaixo um vetor que NÃO É AUTOVETOR
de T :
(a) (−1, 3, 3)
(b) (−2, 1, 0)
(c) (−5, 1, 1)
(d) (1, 2, 3)
8. Seja T uma transformaçãolinear tal que T (1, 2, 3) =
(0, 0, 0):
I. T pode ser uma reflexão por um plano de R3.
II. T pode ser uma reflexão por uma reta de R3.
(a) I e II são falsas.
(b) I e II são verdadeiras.
(c) I é verdadeira, mas II é falsa.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
9. Seja 0 < θ < π.
I. Se T : R2 → R2 é uma rotação de θ radianos
centrada na origem, então T não possui autovetores.
II. Se R : R3 → R3 é uma rotação de θ radianos, em
torno de um eixo passando pela origem, então R não
possui autovetores.
(a) I é verdadeira, mas II é falsa.
(b) I e II são verdadeiras.
(c) I é falsa, mas II é verdadeira.
(d) I e II são falsas.
10. Dado o produto interno em P1 (espaço dos polinô-
mios da forma p(x) = ax + b) definido por 〈p, q〉 =
p(−1)q(−1)+p(1)q(1), assinale o polinômio que é or-
togonal a x+ 1:
(a) x− 1
(b) x
(c) 2x+ 1
(d) x+ 2
Gabarito Pág. 1
11. Sejam a e b números não nulos e c e d números quais-
quer. O sistema:
{
113x+ 111y + az = c
217x+ 219y + bz = d
(a) sempre tem várias soluções.
(b) nunca tem solução.
(c) só tem solução se a 6= b.
(d) só tem solução se c− d+ a− b 6= 0.
12. Assinale o vetor mais próximo de (1, 1, 1, 1, 1) segundo
o produto interno padrão de R5.
(a) (0,−1, 1,−1, 1)
(b) (−1, 1,−1, 1,−1)
(c) (1,−1,−1,−1,−1)
(d) (0,−1,−1, 0, 1)
13. Considere a matriz
A =
[
2 1
1 2
]
Assinale o vetor de menor norma de acordo com o
produto interno 〈·, ·〉A, definido por 〈~u,~v〉A = uTAv.
(a) (1,−2)
(b) (0, 2)
(c) (−2,−1)
(d) (2, 1)
14. Seja S = {~u,~v} um conjunto ortonormal.
I. ‖~u+ ~v‖ =
√
2
II. ‖~u− ~v‖ =
√
2.
(a) I e II são verdadeiras.
(b) I e II são falsas.
(c) I é verdadeira, mas II é falsa.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
15. Seja r uma reta em R2 que não passa pela origem.
I. r pode ser a imagem de alguma transformação li-
near T : R2 → R2
II. r pode ser o núcleo de alguma transformação linear
T : R2 → R2.
(a) I e II são falsas.
(b) I e II são verdadeiras.
(c) I é verdadeira, mas II é falsa.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
16. Os autovalores da matriz
[
−2 4
−8 10
]
são:
(a) 2 e 6
(b) 2 e 7
(c) 3 e 8
(d) 3 e 6
Gabarito Pág. 1
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães,
Mário de Oliveira, Milton Ramirez, Monique Car-
mona, Nilson Bernardes e Nilson Roberty
Data: 3 de junho de 2014
Quarta Prova
1. Considere o produto interno F : R3 × R3 → R, x =
(x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), definido por
F (x,y) = 3x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2 + x3y3.
Determine a soma das entradas da projeção ortogonal
do vetor (0, 0, 2). na direção do vetor (1, 1, 2).
(a) 167
(b) 258
(c) 58
(d) 87
2. Seja A uma matriz n×n. Sabendo que A3 = A então
os únicos autovalores possíveis de A são:
(a) −1, 0, 1
(b) −
√
2, 0,
√
2
(c) −
√
2, 1,
√
2
(d) −
√
3, 1, 0
3. A dimensão do núcleo de A− 2I é 1 e seu polinômio
característico é p(λ) = (λ − 2)2(λ + 2). Assinale a
alternativa VERDADEIRA
(a) A dimensão do autoespaço associado ao
autovalor 2 é igual a 1
(b) Det(A) = 0
(c) A matriz A é diagonalizável
(d) A dimensão do autoespaço associado ao autova-
lor 2 é igual a 2
4. Quais são todos os valores de a ∈ R para os quais o
operador linear T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) =
(ax+2ay+2z, ay+z, ax+2y−z) NÃO é invertível?
(a) a ∈ {0,−2}
(b) a ∈ {0, 2}
(c) a = 0
(d) a qualquer
5. A =
 67 − 27 − 37− 27 37 − 67
− 37 −
6
7 −
2
7
 é a matriz que realiza a re-
flexão ortogonal em um subespaço W . O autoespaço
associado ao autovalor negativo é:
(a) A reta na direção do vetor (1, 2, 3)
(b) x+ 2y + 3z = 0
(c) A reta na direção do vetor (1, 3, 2)
(d) x+ 3y + 2z = 0
6. A transformação linear T realiza a reflexão ortogonal
dos vetores de R3 pelo plano x+y−z = 0, seguida da
multiplicação por 3. Então é FALSO afirmar que:
(a) 1 e -1 são autovalores de T
(b) T é diagonalizável
(c) T é invertível
(d) Dimensão do núcleo de T é igual a 0
7. Seja u = (u1, u2) e v = (v1, v2). Consi-
dere a forma quadrática dada por F (u,v) =
[u1u2]
[
−1 −1
−1 −1
] [
v1
v2
]
e assinale a alternativa
VERDADEIRA
(a) Existe v 6= 0 tal que F (v,v) = 0
(b) Existem u e v tal que F (u,u) < 0 e F (v,v) > 0
(c) F (v,v) > 0 para todo v 6= 0
(d) F (v,v) < 0 para todo v 6= 0
8. Seja R : R2 → R2 uma projeção na reta y + 2 x = 0
e S : R2 → R2 uma reflexão pela reta - x +2 y = 0.
Qual o polinômio característico p(λ) de T = SR?
(a) p(λ) = λ(λ+ 1)
(b) p(λ) = λ(λ− 1)
(c) p(λ) = (λ+ 1)2
(d) p(λ) = λ2
(e) 3
9. Seja A =
 1 1 1−1 0 −2
1 2 0
. Indique a alternativa
VERDADEIRA
(a) O complemento ortogonal ao espaço ge-
rado pelas linhas de A é {(−2x, x, x), x ∈ R}
(b) O complemento ortogonal ao núcleo de AT é
{(−2x, x, x), x ∈ R}
(c) O complemento ortogonal ao núcleo de A é
{(−2x, x, x), x ∈ R}
(d) O complemento ortogonal ao espaço gerado pelas
colunas de A é {(−2x, x, x), x ∈ R}
10. Seja T uma transformação linear T : R6 → R7 cuja
dimensão do núcleo é 1. A dimensão do espaço orto-
gonal à imagem de T é:
(a) 2
(b) 5
(c) 4
(d) 3
Gabarito Pág. 1
11. Seja y = ax+ b a reta que melhor ajusta os dados da
tabela abaixo, no sentido dos mínimos quadrados.
x y
1 −1
0 1
−1 −2
2 0
Então o coeficiente a vale:
(a) 25
(b) 710
(c) − 710
(d) − 25
12. Considere o sistemaA~x = ~b, onde~b pode ser um vetor
qualquer. Sabendo que os autovalores de A são 1,−1,
e 0, podemos afirmar que:
(a) O sistema nem sempre tem solução
(b) O sistema tem sempre mais de uma solução
(c) O sistema nunca tem solução
(d) O sistema sempre tem solução única.
13. Seja T uma transformação linear com determinante
nulo. O que podemos afirmar sobre T?
(a) T não é uma reflexão ortogonal
(b) T não é uma projeção ortogonal
(c) T é uma rotação
(d) T é uma expansão homogênea
14. Uma matriz é dita ortogonal se a sua matriz in-
versa é igual a sua matriz transposta. A matriz
A =

1√
3
1√
3
1√
3
1√
3
− 1√
3
− 1√
3
1√
3
− 1√
3
1√
3
 é:
(a) simétrica e invertível, mas não é ortogonal
(b) simétrica, invertível e ortogonal
(c) ortogonal e invertível, mas não é simétrica
(d) simétrica, mas não é ortogonal e nem é invertível
15. Sejam F o espaço vetorial das funções e D : F → F
o operador derivada. Seja T = D − I, onde I é a
transformação identidade. Assinale uma função que
é autovetor de T :
(a) ex
(b) sin(x)
(c) log(x)
(d) x− 1
Gabarito Pág. 1
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 8 de Dezembro de 2015
Quarta Prova
1. Seja A uma matriz 5×3, qual conjunto abaixo contém
apenas vetores do R3?
(a) Im(AT )
⋃
N(A)
(b) Im(A)
⋃
N(A)
(c) Im(A)
⋃
Im(AT )
(d) Im(AT )
⋃
N(AT )
2. Seja A uma matriz quadrada.
(a) Se A é simétrica, então A é diagonalizável.
(b) Se A é diagonalizável, então A é invertível.
(c) Se A é invertível, então A é simétrica.
(d) Se A é ortogonal, então A é diagonalizável.
3. Calcule o determinante da matriz abaixo:
1 1 0 1
1 3 2 2
0 0 −3 0
2 4 2 5

(a) −12
(b) −21
(c) −20
(d) −11
4. Assinale a matriz cujo núcleo é a reta x − 2y = 0 e
cuja imagem está contida no plano x+ y + z = 0
(a) A =
 3 −6−1 2
−2 4
.
(b) A =
[
3 −1 −2
−6 2 4
]
.
(c) A =
 3 −6−1 2
−3 6
.
(d) A =
[
3 −1 −3
−6 2 6
]
.
5. Considere o sistema A~x = ~b:
I. Se não existe solução, então A não é sobrejetiva.
II. Se tem várias soluções, então A pode ser injetiva.
(a) I é verdadeira, mas II é falsa.
(b) I e II são falsas.
(c) I e II são verdadeiras.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
6. Assinale a matriz que representa na base canônica do
R3 a projeção ortogonal no plano z = x+ y:
(a) A = 13
 2 −1 1−1 2 1
1 1 2
.
(b) A = 13
 1 1 −1−1 2 1
1 1 2
.
(c) A = 13
−1 1 −11 −1 −1
−1 −1 −1
.
(d) A = 13
 1 −1 11 2 1
−1 1 2
.
7. Seja H o conjunto dos vetores de R4 cuja soma das
duas primeiras coordenadas é zero. EntãoH⊥, o com-
plemento ortogonal de H, é:
(a) uma reta.
(b) um plano.
(c) um hiperplano.
(d) o R4.
8. Calcule a terceira coluna da inversa da matriz: 1 −1 11 1 0
−1 0 1

(a) 13 [−1, 1, 2]
T
(b) 13 [1, 1, 2]
T
(c) 13 [−1, 1,−2]T
(d) 13 [1,−1, 2]
T
9. Seja H o plano em R4 determinado pelos vetores
(1, 0, 0, 0) e (1, 1, 0, 0). Calcule o determinante da ma-
triz que representa a reflexão ortogonal por H.
(a) 1
(b) −1
(c) 0
(d) 4
10. Seja {~a1,~a2, . . . ,~an} uma base do subespaço H ⊂ Rm
e defina a matriz Am×n cuja j-ésima coluna é ~aj . A
projeção ortogonal de um vetor ~b sobre o subespaço
H, PH(~b), é dada por:
(a) A(ATA)−1AT~b
(b) (ATA)−1AT~b
(c) (I −A(ATA)−1AT )~b
(d) (I − (ATA)−1AT )~b
Gabarito Pág. 1
11. Seja ε a base canônica de R2 e β a base obtida pela
rotação de π/4 radianos no sentido horário dos vetores
de �. A matriz de mudança de base de β para ε é:
(a)
[
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
]
(b)
[
− 1√
2
1√
2
1√
2
1√
2
]
(c)
[
1√
2
− 1√
2
1√
2
1√
2
]
(d)
[
1√
2
1√
2
1√
2
− 1√
2
]
12. Seja B = {v1, v2} uma base de R2. A transformação
linear T está definida através de T (v1) = v2, T (v2) =
v1 + v2. Indique a matriz que representa a inversa
de T na base B.
(a)
[
T−1
]
β
=
[
−1 1
1 0
]
(b)
[
T−1
]
β
=
[
1 1
−1 0
]
(c)
[
T−1
]
β
=
[
1 −1
1 0
]
(d)
[
T−1
]
β
=
[
−1 1
0 1
]
13. Sejam A,B matrizes reais 2× 2 tais que
〈A~x, ~y〉 = 〈~x,B~y〉, ∀~x, ~y ∈ R2,
onde 〈~x, ~y〉 é o produto interno euclidiano em R2.
Pode-se afirmar que:
(a) B = AT
(b) B = A
(c) B = A−1
(d) B = −A
14. (Questão Extra) Uma matriz é chamada de matriz
de permutação se em cada linha e em cada coluna
há um único 1 e as demais entradas são todas zeros.
Afirma-se:
(I) Se M é uma matriz de permutação, então M−1 =
MT .
(II) Se M−1 = MT , então M é uma matriz de per-
mutação.
(a) (I) é verdadeira e (II) é falsa
(b) (I) e (II) são verdadeiras
(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
15. Sejam ~v, ~w vetores tais que ‖~v‖ = ‖~w‖ = 1. Considere
as afirmativas:
(I) ~v + ~w e ~v − ~w são ortogonais.
(II) É possível que ‖~v + ~w‖ = ‖~v − ~w‖ = 1.
(a) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(b) (I) e (II) são verdadeiras.
(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(d) (I) e (II) são falsas.
16. Seja A uma matriz quadrada com determinante nulo:
I. A é injetiva.
II. A é sobrejetiva.
(a) I e II são falsas.
(b) I é verdadeira, mas II é falsa.
(c) I e II são verdadeiras.
(d) I é falsa, mas II é verdadeira.
17. (Questão Extra) Seja P1 o espaço dos polinômios
p(x) = ax+b e considere a base β = {2x−2, 2x+2}.
Se γ é uma base tal que a matriz de mudança de β
para γ é [I]γ←β =
[
1 −2
1 −1
]
, então a base γ é:
(a) γ = {−4x, 6x− 2}
(b) γ = {−4x− 6, −2}
(c) γ = {2x− 2, 2x+ 2}
(d) γ = {8, 8x}
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 9 de julho de 2012
Prova FINAL
1. A soma de dois autovetores quaisquer de A é um au-
tovetor de A.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
2. Se A~x = ~b não tem solução então ~b não está na ima-
gem de A.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
3. Considere os vetores {(1,−4,−1), (1, 0, 1), (1,−2, 0)}.
Encontre um vetor de norma 1 ortogonal aos 3 vetores
acima. O módulo da soma de suas entradas é igual a:
(a) 1√
3
(b) 5
3
(c) 1
3
(d) 1
6
(e) Não sei.
4. O sistema linear A~x = ~b, A =




1 2 3
0 1 5
1 1 −2
1 0 −6




e
~b =




0
−3
3
5




, possui solução única, cuja soma das
entradas é
(a) 2
(b) 1
(c) −1
(d) 0
(e) Não sei.
5. Considere vetores ~u,~v, ~w, não nulos, tais que 〈~u,~v〉 =
0 e 〈~v, ~w〉 = 0. Então o espaço gerado por ~u,~v, ~w tem
dimensão 3.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
6. Seja β = {x + 1, x − 1, x2 + 1} uma base de P2 (es-
paço dos polinômios de grau menor ou igual a 2). O
polinômio cujas coordenadas na base β são (2, 3, 3) é
(a) 3x2 + x− 2
(b) 3x2 + 5x+ 2
(c) 3x2 − x+ 8
(d) 3x2 − 5x− 2
(e) Não sei.
7. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1,−4), (−3, 13)}
duas bases de R2. A matriz de mudança da base α
para a base β é igual a:
(a)
[
1 −4
−3 13
]
(b)
[
1 −3
−4 13
]
(c)
[
13 3
4 1
]
(d)
[
13 4
3 1
]
(e) Não sei.
8. Se A é uma matriz 5× 3 então a dimensão do núcleo
de A é menor ou igual a 3.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
9. Seja a matriz A =




1 2 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0




.
Uma base para o núcleo de A deve ser formada por:
(a) 3 vetores linearmente independentes.
(b) 1 vetor não nulo.
(c) 4 vetores linearmente independentes.
(d) 2 vetores linearmente independentes.
(e) Não sei.
10. Calcule a área do paralelogramo dado pelos pontos
{(−1, 1), (1, 0), (2, 3), (0, 4)}.
(a) 4
(b) 3
(c) 6
(d) 7
(e) Não sei.
Nome: Teste 328, pág. 1
11. O polinômio característico de


2 −5 3
2 −9 6
3 −15 10

 é
pC(λ) = −(λ − 1)
3. Os autovetores de A formam
um espaço de dimensão:
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) 3
(e) Não sei.
12. Os autovalores de AT são iguais aos de A.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
13. Seja A =


1 2 3
0 0 4
0 0 0

 .
Então a núcleo da transposta de A tem dimensão 1.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
14. Os autovalores da transformação
T (x, y) = (−x+ 3 y, x+ y) são:
(a) {−3, 3}
(b) {−4, 4}
(c) {−2, 2}
(d) {−1, 1}
(e) Não sei.
15. O conjunto
{
(a, b, c) ∈ R3|b = a+ c+ 1
}
, munido da
soma vetorial e multiplicação por escalar usuais, é um
espaço vetorial.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
16. Existe uma transformação linear T : R7 → R3 inje-
tiva.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
17. A reta que melhor ajusta os dados da tabela:
x y
1 2
2 -4
5 4
,
no sentido dos mínimos quadrados é y = x − 2.
Usando este fato, a projeção ortogonal do vetor
(2,−4, 4) sobre 〈(1, 2, 5), (1, 1, 1)〉 é:
(a) (3,−4, 1)
(b) (−6, 8,−2)
(c) (1,−2)
(d) (−1, 0, 3)
(e) Não sei.
18. Seja r a reta que passa pela origem e tem a direção
do vetor (−1, 0). A matriz (na base canônica) da
projeção ortogonal sobre r é:
(a)
[
−1 0
0 0
]
(b)
[
0 1
0 0
]
(c)
[
0 −1
0 0
]
(d)
[
1 0
0 0
]
(e) Não sei.
Nome: Teste 328, pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mar-
cello, Mario, Milton, Monique e Paulo
Data: 6 de dezembro de 2013
Prova Final
1. Seja y = ax+ b a reta que melhor ajusta os dados da
tabela abaixo, no sentido dos mínimos quadrados.
x y
−1 −0.3
0 1.3
2 3.1
Então o coeficiente a vale:
(a) 1.1
(b) 1.2
(c) 0.9
(d) 0.8
2. Considere o sistema linear Ax = b, onde A é uma
matriz 3 × 3 e b ∈ R3. Sem conhecer A e b, mas
apenas a forma escalonada da matriz aumentada do
sistema,
[A|b] ∼
 1 2 0 20 0 1 4
0 0 0 0
 ,
nós não podemos afirmar que:
(a) Ax = (2, 4, 0) admite solução
(b) det(A) = 0
(c) Ax = (0, 0, 0) admite infinitas soluções
(d) A terceira entrada de qualquer solução de Ax =
b é 4
3. A matriz A =
[
−23 50
−15 32
]
tem autovalores 2 e 7.
Então A9
[
1
1
]
é igual a:
(a)
[
−4(29) + 5(79)
−2(29) + 3(79)
]
(b)
[
−6(29) + 4(79)
−3(29) + 6(79)
]
(c)
[
−8(29) + 3(79)
−4(29) + 4(79)
]
(d)
[
−9(29) + 6(79)
−5(29) + 2(79)
]
4. É dado que det
 a b cd e f
g h i
 = 2. Podemos afir-
mar que:
(a) det
 a b cg h i
d e f
 = −2
(b) det
 g h ia b c
d e f
 = −2
(c) det
 2a 2b 2c2d 2e 2f
2g 2h 2i
 = 4
(d) det
 a b cd e f
0 0 0
 +det
 0 0 00 0 0
g h i
 =
2
5. Seja x ∈ R3 o ponto de interseção do plano 2 z+2 y+
2x = 2 com a reta {v ∈ R3|v = (1, 2, 3)+t(1, 2, 2), t ∈
R}. A soma das entradas de x é:
(a) 1
(b) 3
(c) 2
(d) 4
6. Seja T : R2 → R2 linear tal que T (2, 3) = (1, 1) e
T (3, 3) = (1, 2). A segunda coluna da matriz de T
com relação à base canônica é
(a)
[
0
1
]
(b)
[
2
3
]
(c)
[
1
1
]
(d)
[
1
0
]
7. Seja P o ponto do plano π : 2x − y + z = 0 mais
próximo de Q = (0, 9,−3). A distância de P a Q é
(a) 2
√
6
(b) 3
√
7
(c)
√
66
(d) 3
√
2
8. Seja β = {(2, 2), (−4, 6)}.A matriz que, ao multipli-
car um vetor qualquer x, resulta nas coordenadas de
x com relação à base β é
(a)
[
2 −4
2 6
]−1
(b)
[
2 −4
2 6
]
(c)
[
2 2
−4 6
]−1
(d)
[
2 2
−4 6
]
Gabarito Pág. 1
9. Seja P3 o espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a 3. Seja L : P3 → P3 a transformação li-
near dada por (L(p))(x) = p′′(x) + xp′(x). Examine
quais das afirmações abaixo são verdadeiras. (Suges-
tão: monte a matriz da transformação na base canô-
nica de P3.)
I – L é diagonalizável;
II – L é invertível.
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) I é falsa e II é verdadeira
(c) ambas são falsas
(d) ambas são verdadeiras
10. Considere o espaço R4 munido do produto interno
usual. Defina o subespaço vetorial H gerado pelo ve-
tor (1,−1, 0, 1). O seguinte conjunto é uma base para
H⊥:
(a) {(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}
(b) {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}
(c) {(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1)}
(d) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}
11. Seja o sistema linear x + z = a− y + z = 1
x + bz = 2
com a, b ∈ R. É falso afirmar que:
(a) Se b 6= 1 e a = 2, o sistema não admite
soluções
(b) Se b 6= 1, o sistema admite solução única
(c) Se b = 1 e a = 2, o sistema admite infinitas
soluções
(d) Se b = 1 e a 6= 2, o sistema não admite soluções
12. SejaH = {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (0, 1, 1), (−2,−1,−1), (5, 3, 3)}.
Então:
(a) existem dois vetores de H que, junto com
(0, 1,−1), geram R3
(b) H gera R3
(c) quaisquer dois vetores de H, junto com
(0, 1,−1), geram R3
(d) existem dois vetores de H que, junto com
(3, 2, 2), geram R3
13. Sejam {v1, v2, v3} um conjunto linearmente indepen-
dente em R5 e H o espaço gerado por este conjunto.
Seja ainda v4 /∈ H. Considere as afirmações:
I – O conjunto {v1, v1 + v2, v2 + v3} é linearmente
independente.
II – O conjunto {v1, v1 + v2, v1 + v3, v1 + v4} é line-
armente independente.
Então:
(a) ambas são verdadeiras
(b) ambas são falsas
(c) I é verdadeira e II é falsa;
(d) I é falsa e II é verdadeira;
14. Seja
A =
 1 a a21 b b2
1 c c2
 .
com a, b, c reais arbitrários. Então:
(a) detA = (b− a)(c− a)(c− b)
(b) detA = (b− a)(a− c)(c− b)
(c) detA = (b2 − a2)(a2 − c2)(c2 − b2)
(d) detA = (b2 − a2)(b− a)(b+ c)
15. Seja T : V → V uma transformação linear, onde V é
um espaço vetorial de dimensão finita. Considere as
seguintes afirmações:
I – Se {v1,v2, · · · ,vk} é linearmente dependente,
então {T (v1), T (v2), · · · , T (vk)} é linearmente
dependente.
II – Se {T (v1), T (v2), · · · , T (vk)} é linearmente de-
pendente, então {v1,v2, · · · ,vk} é linearmente
dependente.
Então:
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) I é falsa e II é verdadeira
(c) ambas são falsas
(d) ambas são verdadeiras
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 11 de julho de 2012
Prova de 2a Chamada
1. Seja A uma matriz quadrada. Se ~v pertence ao núcleo
de A e ~w pertence à imagem de A, então 〈~v, ~w〉 = 0.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
2. Sejam V um espaço vetorial de dimensão 2 e T : V →
V uma transformação linear. Se ~v é autovetor associ-
ado a 3 e ~u é autovetor associado a -2, então é falso
afirmar que:
(a) T é diagonalizável.
(b) T (~v + ~u) = 3T (~v)− 2T (~u).
(c) T (2~v − 3~u) = 6~v + 6~u.
(d) {~v, ~u} é LI.
(e) Não sei.
3. Seja λ autovalor de uma matriz A. É falso afirmar
que:
(a) A e AT sempre têm os mesmos autoespaços;
(b) Se A for não-singular, então 1/λ é autovalor de
A−1
(c) A e AT sempre têm os mesmo autovalores;
(d) λn é autovalor de An;
(e) Não sei.
4. Qual dos seguintes conjuntos não é um subespaço:
(a) O conjunto de soluções de A~x = ~b, onde ~b 6= ~0.
(b) O complemento ortogonal do espaço gerado por
um único vetor não nulo.
(c) A imagem de uma matriz real m× n.
(d) O núcleo de uma matriz real m× n.
(e) Não sei.
5. Seja A uma matriz m× n qualquer. É falso afirmar
que:
(a) O núcleo de AT é o complemento ortogonal do
espaço coluna de A.
(b) O núcleo de A é o complemento ortogonal do
espaço linha de A.
(c) O núcleo de A é o complemento ortogonal do
espaço coluna de A.
(d) O núcleo de A é o complemento ortogonal da
imagem de AT .
(e) Não sei.
6. Sejam ~v1, ~v2, ~v3 e ~w vetores quaisquer de R3. Assinale
a alternativa falsa.
(a) det
([
~v1 ~v2 + ~w ~v3
])
=
det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
+ det
([
~v1 ~w ~v3
])
(b) det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
= 0 se, e somente se,
{~v1, ~v2, ~v3} é LD.
(c) det
([
~v1 ~v2 + 2~v3 ~v3
])
= det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
(d) 3 det
([
~v1 ~v2 ~v3
])
= det
([
3~v1 3~v2 3~v3
])
(e) Não sei.
7. Quais são os autovalores e bases dos respectivos au-
toespaços da matriz T =




− 4
5
− 3
5
0 0
− 3
5
4
5
0 0
0 0 0 1
0 0 1 0




?
(a) λ1 = −1 e {[1, 3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e
λ2 = 1 e {[0, 0, 1, 1] , [3, 1, 0, 0]}
(b) λ1 = 1 e {[1,−3, 0, 0] , [0, 0, 1, 1]} e
λ2 = −1 e {[0, 0,−1, 1] , [3, 1, 0, 0]}
(c) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e
λ2 = −1 e {[3, 1,−1, 1]}
(d) λ1 = 1 e {[1,−3, 1, 1]} e
λ2 = 0 e {[3, 1,−1, 1]}
(e) Não sei.
8. Se as colunas de An×n formam um conjunto orto-
normal, então det(A) = 0.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
9. A reta que melhor ajusta os dados da tabela
x y
1 2
4 -9
6 9
,
no sentido dos mínimos quadrados é y = x − 3. Use
este fato para calcular a projeção ortogonal do vetor
(2,−9, 9) sobre 〈(1, 4, 6), (1, 1, 1)〉:
(a) (4,−10, 6)
(b) (−2, 1, 3)
(c) (−8, 20,−12)
(d) (1,−3)
(e) Não sei.
Nome: Teste 130, pág. 1
10. Se T : R2 → R2 é uma reflexão ortogonal em relação a
uma reta, então T possui dois autovetores linearmente
independentes.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
11. Se V é um espaço vetorial com produto interno e H ⊂
V é um subespaço de dimensão 3, então todo conjunto
ortogonal de 3 vetores não nulos de H é uma base de
H.
(a) A afirmativa é verdadeira.
(b) A afirmativa é falsa.
(c) Não sei.
12. Seja F = {(a, b, c, d, e) ∈ R5|a = d − 2b, b = 2e + a}.
Então, uma base para F será:
(a) {(0, 1, 0, 2, 1/2), (1,−2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0)}.
(b) {(1,−2, 1), (0, 1, 0)}.
(c) {(1, 0, 0, 1,−1/2), (0, 1, 0, 2, 1/2)}.
(d) {(2, 0, 0, 2,−1), (0, 2, 0, 4, 1), (0, 0, 1, 0, 0)}.
(e) Não sei.
13. A forma totalmente escalonada de uma matriz A4×5
é igual a


1 0 1 1 0
0 1 1 1 0
0 0 0 0 1

. Assinale a alternativa
correta:
(a) O posto de A é 3.
(b) A~x = ~b tem solução para todo lado direito da
forma ~b = (b1, b2, b3, 0).
(c) AAT é invertível.
(d) A dimensão do núcleo de A é 1.
(e) Não sei.
14. Calcule det








2 −1 2 1
3 0 −3 −2
0 0 1 0
−7 0 −5 4








.
(a) 3
(b) 0
(c) -2
(d) 12
(e) Não sei.
15. Seja A6×3 uma matriz com colunas linearmente inde-
pendentes. A seguinte fórmula representa a projeção
ortogonal de um vetor qualquer ~b sobre a imagem de
A:
(a) A−1~b
(b)
(
I − (ATA)−1AT
)
~b
(c) (ATA)−1AT~b
(d) A(ATA)−1AT~b
(e) Não sei.
Nome: Teste 130, pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario,
Milton, Monique e Umberto
Data: 12 de julho de 2013
Terceira Prova
1. Considere no espaço vetorial P2 (isto é, os polinômios
de grau ≤ 2) o produto interno dado por < p,q >=
p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2). Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) p(x) = x2−x e q(x) = x2−2x são ortogonais
(b) p(x) = x2 e q(x) = x são ortogonais
(c) p(x) = x2 − x e q(x) = x2 + x são ortogonais
(d) p(x) = x2 e q(x) = 2x− 1 são ortogonais
2. Considere o produto interno usual do Rn e seja S um
conjunto de vetores não nulos. Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) Se S é linearmente dependente então os
vetores de S não podem ser todos ortogo-
nais entre si
(b) Se S é linearmente independente então os vetores
de S são todos ortogonais entre si
(c) Se S é linearmente independente então pelo me-
nos dois vetores de S são ortogonais entre si
(d) Se não existirem dois vetores de S ortogonais
entre si então S é linearmentedependente
3. Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que sua imagem
é gerada pelo vetor (1, 1, 1). Assinale a afirmativa
VERDADEIRA:
(a) O núcleo de AT é o conjunto de soluções
de x+ y + z = 0
(b) O núcleo de AT é a reta gerada pelo vetor
(−1,−1,−1)
(c) A imagem de AT é o conjunto de soluções de
x+ y + z = 0
(d) O núcleo de A é o conjunto de soluções de x +
y + z = 0
4. Dizemos que a matriz A é anti-simétrica se A =
−AT e simétrica se A = AT . Assinale a afirmativa
FALSA:
(a) Se A é simétrica e triangular então A é a
matriz nula
(b) Se A é simétrica e anti-simétrica então A é a
matriz nula
(c) Se A é anti-simétrica e triangular então A é a
matriz nula
(d) Se A é anti-simétrica e diagonal então A é a
matriz nula
5. Seja A uma matriz qualquer. Assinale a afirmativa
FALSA:
(a) Se A é injetora então AT é injetora
(b) Se A é inversível então AT é inversível
(c) Se A é diagonalizável então AT é diagonalizável
(d) Se A é simétrica então AT é simétrica
6. Seja pA o polinômio característico da matriz A. As-
sinale a afirmativa FALSA:
(a) Se todas as raízes de pA são reais então A
é diagonalizável
(b) Se todas as raízes de pA são complexas então A
não tem autovetores
(c) Se todas as raízes de pA são iguais então A tem
um autovetor
(d) As raízes de pA são iguais às raízes de pAT
7. Suponha que a matriz A3×3 tem dois autovalores dis-
tintos, λ1 e λ2, e que v = (1, 1, 0) e w = (0, 1, 1)
são autovetores associados ao autovalor λ1. Qual dos
vetores abaixo poderia ser um autovetor associado a
λ2?
(a) (1, 2, 2)
(b) (1, 2, 1)
(c) (−1, 0, 1)
(d) (−1, 1, 2)
8. Considere a matriz A =
[
1 −2
1 3
]
. Quais são os seus
autovalores?
(a) 2− i e i+ 2
(b) i e −i
(c) 1− i e i+ 1
(d) −i− 1 e i− 1
9. Se λ1 = −2, λ2 = −1 e λ3 = 0 são os autovalores
de uma matriz A, então os autovalores de (A+ I)200
são:
(a) 1, 1 e 0
(b) 1,−1 e 0
(c) −(2200), 1 e 0
(d) 2200, 1 e 0
10. Seja T : R2 → R2 uma transformação linear que mul-
tiplica o vector (−1, 1) por 4 e o vetor (1, 2) por 14 .
Seja A a matriz de T na base canônica. Calcule a
soma dos elementos da primeira linha de A.
(a) 32
(b) − 43
(c) 0
(d) 14
Gabarito Pág. 1
11. Seja P3 os espaço dos polinômios de grau ≤ 3, com
um produto interno dado. O complemento ortogonal
do espaço gerado pelos vetores {x − 1, x + 1, x2 − 1}
tem dimensão:
(a) 1
(b) 0
(c) 2
(d) 3
12. Seja T a projeção ortogonal do R3 no plano 2x+3y−
z = 0, seguida da multiplicação por 4. Assinale a
afirmativa VERDADEIRA:
(a) Os autovalores de T são 4, 4 e 0
(b) Os autovalores de T são 4, 1 e 0
(c) Os autovalores de T são 4, -4 e 0
(d) Os autovalores de T são 4, 0 e 0
13. Considere o produto interno usual de R4. Calcule a
projeção ortogonal do vetor (0, 0, 1, 0) à reta na dire-
ção do vetor (1, 1, 1, 1).
(a) ( 14 ,
1
4 ,
1
4 ,
1
4 )
(b) ( 12 ,
1
2 ,
1
2 ,
1
2 )
(c) ( 34 ,
3
4 ,
3
4 ,
3
4 )
(d) (1, 1, 1, 1)
14. Considere o produto interno usual de R4 e sejam u =
(2, 0, 1,−1) e v = (2, 1, 1, 1). Calcule a distância de
u a v.
(a)
√
5
(b) 5
(c) 1
(d) −1
15. Seja A =
−2 1 −10 5 2
0 0 −1
. O vetor (−2, α, β) é um
autovetor associado ao autovalor 5. O valor de α+ β
é:
(a) −14
(b) −8
(c) −10
(d) −12
16. A equação que modela um determinado fenômeno fí-
sico é dada pela função f(x) = ax3+b. Alguns experi-
mentos foram realizados com os seguintes resultados:
x y
-1 -4
0 1
1 12
Os valores de a, b de forma a obter a melhor aproxi-
mação no sentido dos mínimos quadrados são:
(a) a = 8, b = 3
(b) a = 1, b = 103
(c) a = 4, b = 73
(d) a = 2, b = 7
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mar-
cello, Mario, Milton, Monique e Paulo
Data: 13/12/2013
2a Chamada
1. Seja F = {
[
a b
c d
]
∈ R2×2| c = −b, d = c+ 4 a}
Qual a dimensão de F?
(a) 2
(b) 0
(c) 1
(d) 3
2. Sabendo-se que T (v − 2u) = (4, 3) e T (2w + v) =
(7, 2), então T (u+w) é igual a:
(a) 12 (3,−1)
(b) (−3, 1)
(c) (1,−3)
(d) 12 (−1, 3)
3. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3| 3 z − y + x = 0} e b =
([1, 1, 1]). A soma das coordenadas do vetor de S
mais próximo de b é
(a) 2411
(b) − 411
(c) 4611
(d) 1611
4. Se já sabemos que a matriz n×n A tem somente au-
tovalores reais, e não é diagonalizável, o que poderia
ser também suposto sobre A:
(a) A possui dois autovalores iguais
(b) A tem n autovalores distintos
(c) A possui n autoespaços linearmente independen-
tes
(d) A é simétrica
5. Seja T : R2 → R2 linear tal que (2,−1) é um vetor do
núcleo de T e (2,−2) é autovetor de T associado ao
autovalor 2. A primeira coluna da matriz de T com
relação à base canônica é:
(a) (−2, 2)T
(b) (−4, 4)T
(c) (−2,−4)T
(d) (2, 4)T
6. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(3, 8), (2, 5)} duas
bases de R2. A matriz de mudança da base α para a
base β é igual a:
(a)
[
−5 2
8 −3
]
(b)
[
3 2
8 5
]
(c)
[
−5 8
2 −3
]
(d)
[
3 8
2 5
]
7. A matrix A =
4/5 3/5 03/5 −4/5 0
0 0 1
 representa qual
transformação linear na base canônica?
(a) Uma reflexão através do plano x− 3y = 0
(b) Uma projeção no plano x− 3y = 0
(c) Uma reflexão através da reta gerada pelo vetor
(1,−3, 0)
(d) Uma projeção na reta gerada pelo vetor
(1,−3, 0)
8. A condição em a e b para que a equação 2 −1 22 1 1
0 4 a
 ~x =
 −20
b

tenha solução única é:
(a) a 6= −2
(b) a = −2, b = 4
(c) a = −2, b 6= 4
(d) a+ 4 = b
9. Queremos provar: "O teorema de Pitágoras vale
em qualquer espaço vetorial com produto interno".
Tomando-se dois vetores ortogonais entre si, {~v, ~u}, a
partir de qual dos argumentos se comprova essa pro-
posição?
I Argumento A: ||~v + ~u||2 =< v + u, v + u >= ...
II Argumento B: ||~v − ~u||2 =< v − u, v − u >= ...
(a) Qualquer um dos argumentos pode ser
parte da prova
(b) Somente o argumento A pode ser parte da prova
(c) Somente o argumento B pode ser parte da prova
(d) Nenhum dos argumentos é parte da prova
Gabarito Pág. 1
10. Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Podemos
afirmar que:
(a) Todo conjunto com n + 1 vetores em V é
linearmente dependente
(b) Uma união de conjuntos de vetores linearmente
independentes com menos do que n vetores é
também linearmente independente
(c) Existe um conjunto gerador de V com n vetores
linearmente dependentes
(d) Existe um conjunto linearmente independente
com n vetores de V que não é um gerador
11. O conjunto β abaixo é uma base ortogonal de R5.
Use este fato para calcular a terceira coordenada do
vetor v = (2, 1, 13, 7,
√
2,
√
2) na base β.
β = { (1, 0, 0, 1, 1, 1), (1, 4, 4, 1, 1,−3),
(0,−1, 0, 0, 1,−1), (2, 1, 0,−5, 2, 1),
(−3, 1, 0, 0, 2, 1), (1, 4, 7, 1, 1,−3) }
(a) -1/3.
(b) -
√
3/3.
(c)
√
3/3.
(d) 1/3
12. Seja v=(1,2,4,5,6) a projeção ortogonal do vetor
u=(-1,0,-1,0,0) no subespaço W . Então a projeção
ortogonal de u no complemento ortogonal de W é:
(a) (-2,-2,-5,-5,-6)
(b) (0,2,3,5,6)
(c) (2,2,4,5,6)
(d) (0,-1,0,5,6)
13. Sejam A, B e C matrizes tais que C = AB. Consi-
dere as proposições:
I Se B é injetiva e A não é injetiva, C pode ser
injetiva.
II Se B é sobrejetiva e A não é sobrejetiva, C pode
ser sobrejetiva.
(a) A proposição I é verdadeira e proposição
II é falsa
(b) A proposição I é verdadeira e proposição II é
verdadeira
(c) Ambas as proposições I e II são verdadeiras
(d) Ambas as proposições I e II são falsas
14. Seja P2 o conjunto dos polinômios da forma p(t) =
a0 + a1t + a2t
2 e seja T : P2 → P2 dada por T (p) =
p+ p′. Então é FALSO afirmar que:
(a) T tem dois autovetores linearmente inde-
pendentes
(b) Todos os autovetores de T são múltiplos do
mesmo vetor
(c) T não é diagonalizável
(d) T tem um autovalor igual a 1
15. Suponha que T é uma transformação linear e λ1 e λ2
são autovalores de T . Se sabemos que ambos u e v são
autovetores associados a λ1, e que w é um autovetor
associado a λ2, então podemos afirmar que:
(a) Se w é uma combinação linear de u e v
então λ2=λ1
(b) u e v são linearmente dependentes
(c) u e v são linearmente independentes
(d) Se w não é combinação linear de u e v então
λ2 6= λ1
Gabarito Pág. 2
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto deMatemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 18 de Dezembro de 2015
Segunda Chamada
1. Sejam
A =
 1 2 3 w11 −1 0 w2
−1 1 0 w3
 , e ~b =
 −12
−2
 ,
onde a quarta coluna ~w da matriz A é desconhecida.
O conjunto-solução do sistema linear A~x = ~b:
(a) pode ser um subespaço afim de dimensão 2, de-
pendendo de ~w.
(b) é um subespaço afim de dimensão 2, qualquer
que seja ~w.
(c) é o conjunto vazio, qualquer que seja ~w.
(d) pode ser {A−1~b}, dependendo de ~w.
2. Seja A uma matriz real n × n, com n ímpar. Se
AT = −A, então pode-se afirmar que:
(a) detA = 0
(b) O determinante pode ser qualquer número real
(c) detA = (−1)n
(d) detA = 1
3. Seja
A =

1 0 0 2
0 1 1 0
0 1 2 0
3 0 0 8
 .
O determinante de A é:
(a) 2
(b) 4
(c) 8
(d) 1
4. Seja
V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = x3+x4, x2 = x3−x4}.
Indique a resposta correta:
(a) V é um subespaço de dimensão 2.
(b) V é um subespaço de dimensão 1.
(c) V é um subespaço de dimensão 3.
(d) V não é um subespaço.
5. Assinale a afirmação falsa:
(a) [T−1]β←γ = [T ]−1β←γ
(b) [I]γ←β [I]β←δ = [I]γ←δ
(c) [I]ε←γ [T ]γ [I]−1ε←γ = [T ]ε
(d) [T ]β←γ [S]γ←δ = [T ◦ S]β←δ
6. Seja A uma matriz real n × n. A única afirmativa
verdadeira é:
(a) Se A tem n autovalores reais distintos, então A
é diagonalizável.
(b) Se A tem n autovalores reais distintos, então A
é simétrica.
(c) Se A é diagonalizável então A tem n autovalores
reais distintos.
(d) Se A é simétrica então A tem n autovalores reais
distintos.
7. Seja A a matriz cuja decomposição espectral é
A =
 1 1 01 0 1
0 1 0
 2 0 00 1 0
0 0 12
 1 0 −10 0 1
−1 1 1
 .
Então lim
n→∞
An
 34
3
:
(a)
 30
3
.
(b)
 11
0
.
(c) não existe (diverge).
(d)
 10
−1
.
8. Seja H o conjunto dos vetores de R4 que podem ser
expressos na forma
( a+ 2b− c, a+ 5c, a+ b+ 2c, a+ 2b− c )
para alguma escolha de a, b, c e d. Pode-se afirmar
que:
(a) dim(H) = 2.
(b) { (1, 1, 1, 1), (2, 0, 1, 2), (−1, 5, 2,−1) } é base de
H.
(c) { (1, 2,−1), (1, 0, 5), (1, 1, 2), (1, 2,−1) } é gera-
dor de H.
(d) H não é subespaço vetorial.
Gabarito Pág. 1
9. Seja P1 o espaço dos polinômios p(x) = ax+b e consi-
dere as bases β = {2x−1, x+4} e γ = {x+1, 2x+1}.
A matriz de mudança de bases de β para γ é:
(a) [I]γ←β =
[
−4 7
3 −3
]
.
(b) [I]γ←β =
[
−1 4
2 1
]
.
(c) [I]γ←β =
[
1 1
1 2
]
.
(d) [I]γ←β =
[
2 −1
−1 1
]
.
10. Seja ~q1 = (1, 2,−2, 0, 4) e seja β = {~q1, ~q2, . . . , ~q5}
uma base ortogonal de R5. Qual é a primeira coor-
denada do vetor (2,−2, 12, 10,−6) com relação à base
β?
(a) −2
(b) 1
(c) 2
(d) −1
11. Seja T : R2 → R2 a transformação linear cuja atuação
em um vetor ~v se decreve como:
• primeiro, reflete-se ~v através da reta y = 0;
• em seguida, aplica-se uma rotação de π/4 radi-
anos no sentido horário e
• finalmente, projeta-se ortogonalmente sobre a
reta x = y.
A matriz que representa T com relação à base canô-
nica pode ser expressa como
(a) [T ]ε =
√
2
4
[
1 1
1 1
] [
1 1
−1 1
] [
1 0
0 −1
]
(b) [T ]ε =
√
2
4
[
1 0
0 −1
] [
1 1
−1 1
] [
1 1
1 1
]
(c) [T ]ε =
√
2
4
[
1 −1
−1 1
] [
1 1
−1 1
] [
1 0
0 −1
]
(d) [T ]ε =
√
2
4
[
1 0
0 −1
] [
1 1
−1 1
] [
1 −1
−1 1
]
12. A projeção ortogonal do vetor (4, 2,−5) sobre o plano
x+ 2y = 2z é:
(a) (2,−2,−1)
(b) (2, 4,−4)
(c) (1, 2,−2)
(d) (4, 1, 3)
13. Seja A uma matriz 5× 7 cujo núcleo tem dimensão 2.
Pode-se afirmar que:
(a) a transformação TA : ~x 7→ A~x é sobrejetiva.
(b) dim(Im(A)) = 3.
(c) dim(N(AT )) = 5.
(d) a transformação TAT : ~x 7→ AT~x é sobrejetiva.
14. Considere em P1 (espaço dos polinômios da forma
ax+ b) o produto interno 〈p, q〉 = p(0)q(0)+p(1)q(1).
Se H = span{3x− 1}, então H⊥ é:
(a) span{x− 2}.
(b) span{0}.
(c) span{x2 − 2}.
(d) span{x+ 3}.
15. Sejam V = span{(1, 2, 3), (2,−1, 0)} e
W = span{(5, 0, 3), (3, 1, 3)}. Pode-se afirmar que:
(a) V =W .
(b) V ⊂W e W 6⊂ V .
(c) W ⊂ V e V 6⊂W .
(d) V 6⊂W e W 6⊂ V .
16. Questão Extra
Diz-se que a base β = {~b1,~b2,~b3} de R3 é positiva, e
denota-se β > 0, se detB > 0, onde B é a matriz com
colunas ~b1, ~b2 e ~b3. Define-se de forma análoga o que
é uma base negativa. Suponha que β = {~b1,~b2,~b3} é
positiva e considere as bases γ = {2~b1 −~b2,~b2, 2~b3} e
δ = {~b3,~b1,~b2}. Então:
(a) γ > 0, δ > 0
(b) γ > 0, δ < 0
(c) γ < 0, δ > 0
(d) γ < 0, δ < 0
Gabarito Pág. 2
Gabarito dos 15 Testes Gerados
Teste 001: 1C 2D 3D 4A 5C 6B 7A 8A 9C 10B 11A 12D 13B 14D 15A 16C
Teste 002: 1D 2B 3A 4D 5D 6B 7C 8B 9B 10D 11C 12C 13C 14A 15C 16C
Teste 003: 1C 2D 3D 4B 5B 6D 7A 8B 9C 10C 11C 12D 13B 14C 15C 16A
Teste 004: 1D 2D 3A 4D 5C 6D 7D 8D 9A 10B 11A 12A 13B 14B 15A 16A
Teste 005: 1B 2B 3A 4B 5A 6B 7D 8D 9C 10D 11C 12D 13B 14A 15C 16A
Teste 006: 1D 2D 3D 4C 5C 6C 7A 8A 9A 10C 11B 12C 13B 14B 15C 16D
Teste 007: 1D 2B 3D 4A 5B 6D 7A 8D 9D 10B 11A 12A 13A 14A 15D 16C
Teste 008: 1A 2B 3A 4B 5D 6A 7D 8C 9A 10A 11D 12A 13D 14D 15B 16C
Teste 009: 1C 2A 3A 4B 5D 6B 7D 8C 9D 10D 11D 12B 13C 14D 15A 16A
Teste 010: 1D 2D 3A 4A 5D 6C 7A 8B 9C 10B 11A 12B 13C 14B 15C 16D
Teste 011: 1B 2D 3C 4B 5B 6A 7D 8B 9D 10B 11D 12A 13B 14A 15D 16C
Teste 012: 1A 2D 3A 4C 5D 6A 7D 8D 9A 10D 11A 12A 13C 14B 15B 16C
Teste 013: 1B 2B 3B 4A 5C 6A 7A 8D 9B 10B 11C 12A 13A 14A 15C 16C
Teste 014: 1C 2C 3B 4B 5C 6C 7A 8D 9C 10A 11D 12C 13B 14B 15D 16B
Teste 015: 1C 2A 3C 4A 5D 6D 7D 8D 9D 10B 11D 12A 13C 14A 15A 16B
Gabarito Pág. 1
Gabarito
Primeira Prova: 
Teste 478: 1A 2C 3A 4C 5B 6B 7D 8A 9A 10D 11B 12A 13A 14A 15C
Segunda Prova
Teste 487: 1D 2C 3B 4C 5B 6B 7C 8B 9A 10D 11A 12A 13C 14D 15C
Terceira Prova
Teste 481: 1C 2B 3D 4B 5B 6B 7B 8D 9B 10A 11D 12A 13A 14B 15B 16A 17C 18B 19C
Prova Final
Teste 328: 1B 2B 3C 4D 5B 6B 7C 8A 9D 10D 11B 12A 13B 14C 15A 16A 17D 18D
 
Prova de 2a Chamada 
Teste 130: 1B 2B 3A 4A 5C 6D 7B 8B 9B 10A 11A 12D 13A 14C 15D
 
Primeiro Teste 
Teste 280: 1C 2A 3C 4D 5B 6B