Para resolver essa questão, precisamos entender como a matriz \( A \) transforma os vetores dados. 1. Identificação dos vetores: - O vetor \( (1,1) \) é transformado em \( (4,4,10,14) \). - O vetor \( (1,-1) \) é transformado em \( (-2,2,0,0) \). 2. Construção da matriz: Vamos considerar que a matriz \( A \) é uma matriz \( 4 \times 2 \) (já que estamos lidando com vetores de dimensão 2 e resultados de dimensão 4). 3. Sistema de equações: Para o vetor \( (1,1) \): \[ A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 10 \\ 14 \end{pmatrix} \] Isso implica que a soma das colunas de \( A \) deve resultar em \( (4, 4, 10, 14) \). Para o vetor \( (1,-1) \): \[ A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Isso implica que a diferença das colunas de \( A \) deve resultar em \( (-2, 2, 0, 0) \). 4. Solução do sistema: Se chamarmos as colunas de \( A \) de \( \mathbf{c_1} \) e \( \mathbf{c_2} \): - \( \mathbf{c_1} + \mathbf{c_2} = (4, 4, 10, 14) \) - \( \mathbf{c_1} - \mathbf{c_2} = (-2, 2, 0, 0) \) Somando essas duas equações, obtemos: \[ 2\mathbf{c_1} = (2, 6, 10, 14) \implies \mathbf{c_1} = (1, 3, 5, 7) \] 5. Soma dos componentes da primeira coluna: Agora, somamos os componentes da primeira coluna \( \mathbf{c_1} \): \[ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \] Portanto, a soma de todos os componentes da primeira coluna de \( A \) é 16. A alternativa correta é: C) 16.