Para determinar as dimensões da caixa de laços regulares com base quadrada de lado \(X\) e altura \(Y\) que minimizam o material utilizado, dado que o volume é de 1 mm³, seguimos os seguintes passos: 1. Volume da caixa: O volume \(V\) é dado por: \[ V = X^2 \cdot Y \] Como o volume é 1 mm³, temos: \[ X^2 \cdot Y = 1 \] 2. Área da superfície: A área da superfície \(A\) da caixa sem tampa é dada por: \[ A = X^2 + 4 \cdot (X \cdot Y) \] 3. Substituir \(Y\): Da equação do volume, podemos expressar \(Y\) em função de \(X\): \[ Y = \frac{1}{X^2} \] 4. Substituir na área: \[ A = X^2 + 4 \cdot \left(X \cdot \frac{1}{X^2}\right) = X^2 + \frac{4}{X} \] 5. Minimizar a área: Para encontrar o valor de \(X\) que minimiza \(A\), derivamos \(A\) em relação a \(X\) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dX} = 2X - \frac{4}{X^2} = 0 \] 6. Resolver a equação: \[ 2X^3 = 4 \implies X^3 = 2 \implies X = \sqrt[3]{2} \] 7. Encontrar \(Y\): \[ Y = \frac{1}{X^2} = \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \] Portanto, as dimensões que minimizam o material utilizado na confecção da caixa são: - Lado da base \(X = \sqrt[3]{2}\) mm - Altura \(Y = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}\) mm.