Em uma P.G., o quarto e o sétimo termos são, respectivamente, 32 e 2048. Qual é seu primeiro termo?

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (P.G.): \[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \] onde: - \( a_n \) é o n-ésimo termo, - \( a_1 \) é o primeiro termo, - \( q \) é a razão da P.G., - \( n \) é a posição do termo. Dado que: - \( a_4 = 32 \) (quarto termo) - \( a_7 = 2048 \) (sétimo termo) Podemos escrever as equações: 1. \( a_4 = a_1 \cdot q^{3} = 32 \) (1) 2. \( a_7 = a_1 \cdot q^{6} = 2048 \) (2) Dividindo a equação (2) pela equação (1): \[ \frac{a_1 \cdot q^{6}}{a_1 \cdot q^{3}} = \frac{2048}{32} \] Isso simplifica para: \[ q^{3} = 64 \] Portanto, \( q = 4 \) (já que \( 4^3 = 64 \)). Agora, substituímos \( q \) na equação (1): \[ a_1 \cdot 4^{3} = 32 \] \[ a_1 \cdot 64 = 32 \] \[ a_1 = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} \] Assim, o primeiro termo \( a_1 \) é \( \frac{1}{2} \).