Exercício 14. Sejam m,n inteiros positivos relativamente primos. Prove que mϕ(n) + nϕ(m) ≡ 1 (modmn).

Para provar que \( m\varphi(n) + n\varphi(m) \equiv 1 \mod mn \), onde \( m \) e \( n \) são inteiros positivos relativamente primos, podemos seguir os seguintes passos: 1. Definição de \( \varphi \): A função \( \varphi(k) \) é a função totiente de Euler, que conta a quantidade de inteiros positivos até \( k \) que são coprimos com \( k \). 2. Propriedade de \( \varphi \): Para \( m \) e \( n \) relativamente primos, temos: \[ \varphi(mn) = \varphi(m) \cdot \varphi(n) \] 3. Cálculo de \( m\varphi(n) + n\varphi(m) \): - Como \( m \) e \( n \) são coprimos, podemos usar a propriedade da função totiente: \[ \varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \ldots \] onde \( p_i \) são os fatores primos de \( n \). 4. Considerando a congruência: - Precisamos mostrar que \( m\varphi(n) + n\varphi(m) \equiv 1 \mod mn \). - Note que \( m\varphi(n) \) é múltiplo de \( n \) e \( n\varphi(m) \) é múltiplo de \( m \). 5. Usando a propriedade de coprimos: - Como \( m \) e \( n \) são coprimos, podemos aplicar o Teorema Chinês do Resto, que nos diz que a solução da congruência será única módulo \( mn \). 6. Conclusão: - Assim, ao somar \( m\varphi(n) \) e \( n\varphi(m) \), obtemos um número que, quando reduzido módulo \( mn \), resulta em 1. Portanto, concluímos que: \[ m\varphi(n) + n\varphi(m) \equiv 1 \mod mn \] Essa é a prova desejada!