Questão 1 (3,0 pontos) Sejam F : R2 −→ R, u : R2 −→ R e v : R2 −→ R três funções diferenciáveis, e definamos W : R2 −→ R, pondo W (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)) para cada (s, t) ∈ R2. Sabendo que u(1, 0) = 2, v(1, 0) = 3, us(1, 0) = −2, vs(1, 0) = 5, ut(1, 0) = 6, vt(1, 0) = 4, Fu(2, 3) = −1 e Fv(2, 3) = 0, determine Ws(1, 0) e Wt(1, 0).

Question

Questão 1 (3,0 pontos) Sejam F : R2 −→ R, u : R2 −→ R e v : R2 −→ R três funções diferenciáveis, e definamos W : R2 −→ R, pondo W (s, t) = F (...

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A função $ W(s, t) = F(u(s, t), v(s, t)) $ nos permite calcular as derivadas parciais $ W_s $ e $ W_t $.

1. **Cálculo de $ W_s(1, 0) $**:
   $$
   W_s = F_u \cdot u_s + F_v \cdot v_s
   $$
   Substituindo os valores:
   - $ u(1, 0) = 2 $
   - $ v(1, 0) = 3 $
   - $ u_s(1, 0) = -2 $
   - $ v_s(1, 0) = 5 $
   - $ F_u(2, 3) = -1 $
   - $ F_v(2, 3) = 0 $

Portanto:
   $$
   W_s(1, 0) = F_u(2, 3) \cdot u_s(1, 0) + F_v(2, 3) \cdot v_s(1, 0)
   $$
   $$
   W_s(1, 0) = (-1) \cdot (-2) + 0 \cdot 5 = 2 + 0 = 2
   $$

2. **Cálculo de $ W_t(1, 0) $**:
   $$
   W_t = F_u \cdot u_t + F_v \cdot v_t
   $$
   Substituindo os valores:
   - $ u_t(1, 0) = 6 $
   - $ v_t(1, 0) = 4 $

Portanto:
   $$
   W_t(1, 0) = F_u(2, 3) \cdot u_t(1, 0) + F_v(2, 3) \cdot v_t(1, 0)
   $$
   $$
   W_t(1, 0) = (-1) \cdot 6 + 0 \cdot 4 = -6 + 0 = -6
   $$

Assim, temos:
- $ W_s(1, 0) = 2 $
- $ W_t(1, 0) = -6 $

Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

Cálculo

AP3-CIII-2015-2 (Gabarito)

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AP3-CIII-2015-2 (Gabarito)

Questão 3 (2,0 pontos) Considere a função f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = x3 − y3, para cada (x, y) ∈ R2. Determine o plano tangente ao gráfico de f no ponto P = (1, 1, 0).

Questão 4 (2,0 pontos) Determine o maior produto posśıvel, obtido pela multiplicação de dois números não negativos cuja soma totaliza 100.

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