Para resolver o sistema linear homogêneo dado: 1. Equações do sistema: - \( x + 2y - z = 0 \) (1) - \( 3x + y + 2z = 0 \) (2) 2. Analisando o sistema: - O sistema é homogêneo, o que significa que a solução trivial \( (0, 0, 0) \) sempre é uma solução. - Precisamos verificar se existem outras soluções não triviais. 3. Resolvendo o sistema: - Da equação (1), podemos expressar \( z \) em termos de \( x \) e \( y \): \[ z = x + 2y \] - Substituindo \( z \) na equação (2): \[ 3x + y + 2(x + 2y) = 0 \] \[ 3x + y + 2x + 4y = 0 \] \[ 5x + 5y = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x \] - Substituindo \( y = -x \) na expressão de \( z \): \[ z = x + 2(-x) = x - 2x = -x \] 4. Conjunto solução: - Portanto, temos: \[ x = x, \quad y = -x, \quad z = -x \] - Isso significa que podemos expressar a solução como: \[ (x, y, z) = (t, -t, -t) \quad \text{para } t \in \mathbb{R} \] - Ou seja, a solução é da forma \( (t, -t, -t) \). 5. Analisando as alternativas: - (a) Não é correta, pois não é apenas a solução trivial. - (b) Não é correta, pois não considera \( z \) como variável livre. - (c) Correta, pois expressa a relação entre \( x \), \( y \) e \( z \) com \( z \) podendo assumir qualquer valor real. - (d) Não é correta, pois não considera \( y \) como variável livre. - (e) Não é correta, pois a alternativa (c) é válida. Portanto, a alternativa correta é: (c) {(x, y, z) ∈ R³ : x = -y, z ∈ R}.