Para mostrar que os campos elétrico \( E(x, t) \) e magnético \( B(x, t) \) associados a uma onda eletromagnética satisfazem as equações de onda, começamos com as equações de Maxwell no vácuo: 1. Lei de Gauss para o campo elétrico: \[ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \] 2. Lei de Gauss para o campo magnético: \[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \] 3. Lei de Faraday: \[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \] 4. Lei de Ampère-Maxwell: \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \] Agora, vamos derivar a equação de onda para \( E \): 1. Aplicamos o operador rotacional na Lei de Faraday: \[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) \] 2. Substituímos a Lei de Ampère-Maxwell: \[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \] 3. Usamos a identidade vetorial \( \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \). Como \( \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \), temos: \[ -\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \] 4. Rearranjando, obtemos a equação de onda para \( E \): \[ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \] Definindo \( c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \), temos: \[ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{E} \] O mesmo processo se aplica para \( B \), resultando na equação de onda: \[ \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{B} \] Assim, mostramos que tanto \( E(x, t) \) quanto \( B(x, t) \) satisfazem as equações de onda.