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Álgebra Linear

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Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em R3?

(a) { 30 y + 20 z = 45, 24 y + 16 z = 36. 5 x + y + 2 z = 8, 9 x + 6 z = 3, −45 x − 30 z = −15.
(b) { −16 x − 24 y − 8 z = −20, −15 x − 24 y = −12.{ −40 x − 25 y − 5 z = −10, 24 x + 15 y + 3 z = 6.
(c)  4 x + 6 y + 2 z = 5, 5 x + 8 y = 4, −15 x − 24 y = −12. −32 x − 20 y − 4 z = −8, −18 y − 12 z = −27, z = 3.
(d)  8 x + 5 y + z = 2, 6 y + 4 z = 9, z = 3.{ −40 x − 25 y − 5 z = −10, 27 x + 18 z = 9.
(e) { −32 x − 20 y − 4 z = −8, −27 x − 18 z = −9.{ −25 x − 5 y − 10 z = −40, 15 x + 3 y + 6 z = 24.
(f)  8 x + 5 y + z = 2, −32 x − 20 y − 4 z = −8, 6 y + 4 z = 9.{ −24 x − 15 y − 3 z = −6, −36 x − 24 z = −12.
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Para determinar em qual opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \( \mathbb{R}^3 \)), precisamos analisar cada sistema e verificar se eles têm exatamente uma solução livre, o que implica que o número de equações é menor que o número de variáveis. Vamos analisar as opções: (a) - O primeiro sistema tem 2 equações e 2 variáveis (y, z), o que pode resultar em uma reta. - O segundo sistema tem 3 equações e 3 variáveis (x, y, z), mas parece que não é possível ter uma dimensão 1. (b) - O primeiro sistema tem 2 equações e 3 variáveis (x, y, z), o que pode resultar em uma reta. - O segundo sistema também tem 2 equações e 3 variáveis, o que também pode resultar em uma reta. (c) - O primeiro sistema tem 3 equações e 3 variáveis, o que pode não resultar em uma dimensão 1. - O segundo sistema tem 3 equações e 3 variáveis, o que também pode não resultar em uma dimensão 1. (d) - O primeiro sistema tem 3 equações e 3 variáveis, o que pode não resultar em uma dimensão 1. - O segundo sistema tem 2 equações e 3 variáveis, o que pode resultar em uma reta. (e) - O primeiro sistema tem 2 equações e 3 variáveis, o que pode resultar em uma reta. - O segundo sistema tem 2 equações e 3 variáveis, o que também pode resultar em uma reta. (f) - O primeiro sistema tem 3 equações e 3 variáveis, o que pode não resultar em uma dimensão 1. - O segundo sistema tem 3 equações e 3 variáveis, o que também pode não resultar em uma dimensão 1. Após essa análise, as opções (b) e (e) parecem ser as mais promissoras, pois ambas têm a possibilidade de gerar retas. No entanto, a opção (b) é a única que garante que ambos os sistemas têm dimensão 1. Portanto, a resposta correta é: (b).

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Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: 1 −1 1 2 −1 −1 −1 1 0 0 1 1 3 −2 2 2 −6 2 8 −7 −2 6 −2 −14 k  Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:

(a) −1
(b) 1
(c) 3
(d) 2
(e) 0
(f) 4

No ‘quadrado fantástico’ abaixo, sabe-se que cada um dos números nas quatro casas centrais é igual à média dos números nas quatro casas vizinhas (acima, abaixo, à esquerda e à direita). Calcule os valores de x, y, z e w e assinale a única alternativa correta: −7 −3 3 −9 −6 x y 20 −3 z w −8 9 6 −5 −8 ← quadrado fantástico b a x d c x e vizinhos: x = a+ b+ c+ d 4. Observação: Quando uma placa está em equilíbrio térmico, a distribuição da temperatura na placa obedece à chamada ‘propriedade da média’, que em uma versão aproximada, funciona como este ‘quadrado fantástico’. Assim, você pode pensar que as temperaturas no bordo do quadrado são conhecidas e desejam-se conhecer as temperaturas em seu interior. Neste contexto, seria razoável se utilizar uma resolução bem maior, por exemplo 100 × 100 quadradinhos. Neste caso, o problema envolveria um sistema linear com milhares de equações e incógnitas.

(a) z = −1
(b) z = −3
(c) z = 6
(d) z = 3
(e) z = 0
(f) z = −5
(g) z = 1
(h) z = −6

Considere o sistema linear x + 2 y + z − 2w = −6 x + y − z + 3w = 1 x − 2 z + 5w = 6 nas incógnitas (x, y, z, w) ∈ R4. Assinale a expressão abaixo que parametriza o conjunto-solução do sistema, onde t ∈ R é um parâmetro:

(a) (2, 3,−2, 0) + t(1,−1, 3, 1).
(b) (4,−5, 4, 2) + t(0,−1, 2, 1).
(c) (2, 3,−2, 0) + t(1, 0, 3, 1).
(d) (2,−3,−2, 0) + t(0,−1, 2, 1).
(e) (2,−3,−2, 0) + t(1,−1, 3, 1).
(f) (4,−5, 4, 2) + t(1, 0, 3, 1).

Determine a forma totalmente escalonada da matriz: 1 0 −1 −2 1 −2 0 1 5 −7 −1 0 3 1 6 −1 0 3 0 9 

(a)  1 0 0 0 2 0 0 1 0 −3 0 0 0 1 −3 
(b)  1 0 0 0 −3 0 0 1 0 −3 0 0 0 1 2 
(c)  1 0 0 0 −3 0 0 1 0 2 0 0 0 1 −3 
(d)  1 0 0 0 2 0 0 1 0 −3 0 0 0 1 −3 
(e)  1 0 0 0 −3 0 0 1 0 2 0 0 0 1 −3 
(f)  1 0 0 0 −3 0 0 1 0 −3 0 0 0 1 2 

Considere o sistema linear x + 4 y − 2 z − 6w = 3, x + 2 y − z − 2w = 0, x − z + 4w = −2. Assinale a expressão abaixo que parametriza o conjunto-solução do sistema, onde t ∈ R é um parâmetro:

(a) (−3,−1,−1, 0) + t(−2, 2, 2, 1).
(b) (−7, 7, 3, 2) + t(−2, 2, 2, 1).
(c) (−7, 7, 3, 2) + t(−1, 3, 1, 1).
(d) (−3, 1,−1, 0) + t(−1, 3, 1, 1).
(e) (−3,−1,−1, 0) + t(−2, 3, 2, 1).
(f) (−3, 1,−1, 0) + t(−2, 3, 2, 1).

No 'quadrado fantástico' abaixo, sabe-se que cada um dos números nas quatro casas centrais é igual à média dos números nas quatro casas vizinhas (acima, abaixo, à esquerda e à direita). Calcule os valores de x, y, z e w e assinale a única alternativa correta:

(a) z = 13
(b) z = 8
(c) z = 4
(d) z = 11
(e) z = 12
(f) z = 3
(g) z = 7
(h) z = 2

Determine a forma totalmente escalonada da matriz: [1 0 −2 1 2; −2 0 5 −1 −10; 1 0 −3 −1 11; 2 0 −6 0 16]

(a) [1 0 0 0 −3; 0 0 1 0 −1; 0 0 0 1 −3]
(b) [1 0 0 0 −1; 0 0 1 0 −3; 0 0 0 1 −3]
(c) [1 0 0 0 −3; 0 0 1 0 −3; 0 0 0 1 −1]
(d) [1 0 0 0 −3; 0 0 1 0 −3; 0 0 0 1 −1]
(e) [1 0 0 0 −1; 0 0 1 0 −3; 0 0 0 1 −3]
(f) [1 0 0 0 −3; 0 0 1 0 −1; 0 0 0 1 −3]

Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: [1 2 −2 2 −2; 2 0 −5 5 −2; 2 12 −4 1 −7; 2 12 2 1 −11; −1 6 2 −11 k]. Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:

(a) −8
(b) −4
(c) −6
(d) −7
(e) −5
(f) −3

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