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Álgebra Linear

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Considere em os planos definidos por (x, y, z) ∈ R3 tais que x− 2 y − 4 z = 4 e 2x− 8 y − 20 z = 12. A interseção destes planos pode ser escrita como:

(a)  3 5 −2 + t −2−3 1 
(b)  3 5 −2 + t −20 1 
(c)  6 5 −2 + t 00 1 
(d)  6 5 −2 + t −20 1 
(e)  3 5 −2 + t 00 1 
(f)  6 5 −2 + t −2−3 1 
(g)  6 5 −2 + t  0 −3 1 
(h)  3 5 −2 + t  0 −3 1 
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Para resolver a interseção dos planos dados pelas equações \(x - 2y - 4z = 4\) e \(2x - 8y - 20z = 12\), primeiro, vamos simplificar a segunda equação. A segunda equação pode ser dividida por 2, resultando em: \[ x - 4y - 10z = 6 \] Agora temos o sistema: 1. \( x - 2y - 4z = 4 \) 2. \( x - 4y - 10z = 6 \) Subtraindo a primeira da segunda, obtemos: \[ (x - 4y - 10z) - (x - 2y - 4z) = 6 - 4 \] \[ -2y - 6z = 2 \] \[ y + 3z = -1 \] \[ y = -1 - 3z \] Substituindo \(y\) na primeira equação: \[ x - 2(-1 - 3z) - 4z = 4 \] \[ x + 2 + 6z - 4z = 4 \] \[ x + 2 + 2z = 4 \] \[ x + 2z = 2 \] \[ x = 2 - 2z \] Agora temos: - \( x = 2 - 2z \) - \( y = -1 - 3z \) - \( z = z \) Podemos expressar a interseção dos planos em termos de \(z\): \[ (x, y, z) = (2 - 2z, -1 - 3z, z) \] Agora, podemos reescrever isso em forma vetorial: \[ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -20 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) d) \(\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -20 \\ 1 \end{pmatrix}\) e) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) f) \(\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) g) \(\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) h) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente à forma que encontramos, mas a alternativa que mais se aproxima da forma vetorial que encontramos é a) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\), pois o vetor direcional é o mesmo. Portanto, a resposta correta é a) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\).

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Denotamos por −−→ XY , o vetor cuja base está no ponto X e o final no ponto Y , isto é, −−→ XY = Y − X. O desenho abaixo indica as posições dos pontos A, B, C, D, E, F , G e H, vértices de um cubo. Assinale a opção correta:

(a) [ −→ EF −−→ BC −−→ DH ] possui solução única.
(b) [ −→ EF −→ AE −−→ DH ] possui infinitas soluções.
(c) [ −−→ CD −→ FG −−→ GH ] não possui solução.
(d) [ −→ BF −−→ GH −→ AE ] possui solução única.
(e) [ −→ AB −−→ AD −−→ CD ] não possui solução.
(f) [ −−→ GH −−→ CG −→ AE ] possui infinitas soluções.

O conjunto dos (x, y, z, w) ∈ R4 tais que w+3x = −2 pode ser representado por:

(a)  0 0 0 −2 + span {  1 0 0 −3  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(b)  0 −2 0 0 + span {  0 1 −3 0  ,  1 0 0 0  ,  0 0 0 1  }
(c)  −2 0 0 0 + span {  1 0 0 −3  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(d)  0 −3 0 0 + span {  0 −3 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(e)  −3 0 0 0 + span {  −3 0 0 1  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(f)  0 0 0 −3 + span {  −3 0 0 1  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(g)  0 0 −2 0 + span {  0 −3 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(h)  0 0 −3 0 + span {  0 1 −3 0  ,  1 0 0 0  ,  0 0 0 1  }

Um sistema em 47 variáveis

(a) com 40 equações tem infinitas soluções.
(b) homogêneo com 42 equações pode não ter solução.
(c) homogêneo com 52 equações tem infinitas soluções.
(d) com 48 equações não tem solução.
(e) com 46 equações pode ter solução única.
(f) com 47 equações tem solução única.
(g) homogêneo com 50 equações pode ter infinitas soluções.
(h) homogêneo com 44 equações pode ter solução única.

Sabe-se que A3×3 é tal que A  1 −3 −2  =  2 4 2  , A  −38 4  =  −1−4 −5  e A  2 −8 −11  =  −3−7 −5  . Assinale a afirmação verdadeira:

(a) Pode-se afirmar que A~x = ~b tem solução única para qualquer ~b.
(b) Não se pode afirmar se A~x = ~b tem solução para qualquer ~b.
(c) Pode-se afirmar que A~x = ~b tem solução para qualquer ~b, mas não se pode garantir unicidade.
(d) Pode-se afirmar que A~x = ~b não tem solução para certos valores do vetor ~b.

Uma matriz A de dimensões 6× 8, cujas colunas são denotadas por ~aj , com j ∈ {1, 2, . . . , 8}, é tal que ~a8 = 4~a1+7~a5 e ~a7 = 3~a2. Sobre o sistema linear homogêneo [ A ∣∣∣ ~0 ], a única afirmação INCORRETA é:

(a) Podemos afirmar que (− 4, 3, 0, 0,−7, 0,−1, 1) é uma solução.

Considere em os planos definidos por (x, y, z) ∈ R3 tais que x− y+2 z = −4 e 2x−5 y+10 z = −20. A interseção destes planos pode ser escrita como:

(a) 08 2 + t  0 −2 −1 
(b) −38 2 + t  0 −2 −1 
(c) 08 2 + t  0 −3 −1 
(d) −38 2 + t  2 −2 −1 
(e) −38 2 + t  2 −3 −1 
(f) 08 2 + t  2 −3 −1 
(g) −38 2 + t  0 −3 −1 
(h) 08 2 + t  2 −2 −1 

O conjunto dos (x, y, z, w) ∈ R4 tais que y−7 z = −3 pode ser representado por:

(a)  7 0 0 0 + span {  7 0 0 1  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(b)  −3 0 0 0 + span {  1 0 0 7  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(c)  0 0 −3 0 + span {  0 7 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(d)  0 0 0 7 + span {  1 0 0 7  ,  0 0 1 0  ,  0 1 0 0  }
(e)  0 0 0 −3 + span {  7 0 0 1  ,  0 1 0 0  ,  0 0 1 0  }
(f)  0 7 0 0 + span {  0 1 7 0  ,  1 0 0 0  ,  0 0 0 1  }
(g)  0 0 7 0 + span {  0 1 7 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }
(h)  0 −3 0 0 + span {  0 7 1 0  ,  0 0 0 1  ,  1 0 0 0  }

Denotamos por −−→ XY , o vetor cuja base está no ponto X e o final no ponto Y, isto é, −−→ XY = Y − X. O desenho abaixo indica as posições dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H, vértices de um cubo. Assinale a opção correta:

(a) [ −→ AB −−→ EH −→ AE ] possui solução única.
(b) [ −→ BF −−→ GH −−→ DH ] possui solução única.
(c) [ −−→ CD −→ FG −→ EF ] não possui solução.
(d) [ −→ AB −−→ DH −→ AE ] possui infinitas soluções.
(e) [ −→ EF −−→ BC −−→ GH ] não possui solução.
(f) [ −−→ GH −−→ CG −−→ DH ] possui infinitas soluções.

Uma matriz A de dimensões 6× 8, cujas colunas são denotadas por ~aj , com j ∈ {1, 2, . . . , 8}, é tal que ~a6 = 9~a3+3~a5 e ~a8 = 8~a2. Sobre o sistema linear homogêneo [ A ∣∣∣ ~0 ], a única afirmação INCORRETA é:

(a) Podemos afirmar que o conjunto-solução tem dimensão 2 (ou seja, são duas as variáveis livres).
(e) [ −→ AB −−→ EH −→ BF ] possui solução única.
(f) [ −→ BF −−→ BC −−→ DH ] não possui solução.

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