Qual o maior valor de M para o qual a desigualdade x2 – 8x + 15 ≤ M não admite solução real negativa? a) −1 b) 0 c) 3 d) 5 e) 15

Para resolver a desigualdade \( x^2 - 8x + 15 \leq M \), primeiro precisamos entender quando a função quadrática \( f(x) = x^2 - 8x + 15 \) não admite soluções reais negativas. 1. Encontrar as raízes da função: Para isso, igualamos a função a zero: \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] As raízes são: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Portanto, as raízes são \( x = 5 \) e \( x = 3 \). 2. Analisar a parábola: A parábola abre para cima (coeficiente de \( x^2 \) é positivo) e as raízes são \( x = 3 \) e \( x = 5 \). A função é negativa entre as raízes, ou seja, \( 3 < x < 5 \). 3. Condições para não ter soluções reais negativas: Para que a desigualdade \( x^2 - 8x + 15 \leq M \) não tenha soluções reais negativas, o valor máximo da função \( f(x) \) no intervalo \( (-\infty, 0) \) deve ser maior que \( M \). 4. Encontrar o valor máximo de \( f(x) \): O vértice da parábola ocorre em \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4 \). Calculando \( f(4) \): \[ f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 \] 5. Condição para M: Para que a desigualdade não tenha soluções reais negativas, precisamos que \( M \) seja maior ou igual ao valor máximo da função no intervalo considerado. Assim, \( M \) deve ser maior ou igual a \(-1\). Portanto, o maior valor de \( M \) para o qual a desigualdade não admite solução real negativa é: a) −1.