Determine a solução da equação \( y' - y = 2 \). A) \( y = Ce^{x} + 2 \) B) \( y = 2 - Ce^{x} \) C) \( y = 2 + Ce^{-x} \) D) \( y = 2 - Ce^{-x} \)

Para resolver a equação diferencial \( y' - y = 2 \), podemos usar o método do fator integrante. 1. A equação é da forma \( y' + P(x)y = Q(x) \), onde \( P(x) = -1 \) e \( Q(x) = 2 \). 2. O fator integrante é dado por \( e^{\int P(x) \, dx} = e^{-\int 1 \, dx} = e^{-x} \). 3. Multiplicamos toda a equação por \( e^{-x} \): \[ e^{-x}y' - e^{-x}y = 2e^{-x} \] 4. A parte esquerda se torna a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{-x}y) = 2e^{-x} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ e^{-x}y = -2e^{-x} + C \] 6. Multiplicando por \( e^{x} \): \[ y = -2 + Ce^{x} \] Assim, a solução geral da equação é: \[ y = Ce^{x} + 2 \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( y = Ce^{x} + 2 \).