Qual é a integral definida $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \sin(x) \, dx $?

a) $ \frac{1}{2} $
b) $ \frac{1}{4} $
c) $ \frac{1}{8} $
d) 1

Question

Qual é a integral definida $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \sin(x) \, dx $?

a) $ \frac{1}{2} $
b) $ \frac{1}{4} $
c) $ \frac{1}{8} $
d) 1

Ed · Answer

Para resolver a integral definida $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \sin(x) \, dx $, podemos usar a identidade trigonométrica:

$$
\cos(x) \sin(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)
$$

Assim, a integral se torna:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \sin(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx
$$

Agora, podemos fatorar $ \frac{1}{2} $ para fora da integral:

$$
= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \, dx
$$

A integral de $ \sin(2x) $ é:

$$
-\frac{1}{2} \cos(2x)
$$

Portanto, avaliando a integral:

$$
\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} (\cos(\pi) - \cos(0)) \right]
$$

Sabendo que $ \cos(\pi) = -1 $ e $ \cos(0) = 1 $:

$$
= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} (-1 - 1) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} (-2) \right] = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}
$$

Portanto, a resposta correta é:

a) $ \frac{1}{2} $

Qual é a integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \sin(x) \, dx \)? a) \( \frac{1}{2} \) b) \( \frac{1}{4} \) c) \( \frac{1}{8} \) d) 1