Encontre a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). a) 1 b) 2 c) \( 1 \) d) Não convergente

Para encontrar a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \), podemos usar a técnica de frações parciais. Primeiro, reescrevemos o termo da série: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Assim, a série se torna: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] Essa é uma série telescópica. Quando somamos os primeiros termos, vemos que muitos deles se cancelam: \[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots \] O que sobra é: \[ 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - 0 = 1 \] Portanto, a soma da série é \( 1 \). A alternativa correta é: a) 1.