O que é \( \frac{d}{dx} (x^2 e^x) \)? a) \( x^2 e^x + 2x e^x \) b) \( e^x \cdot (2x + x^2) \) c) \( 2x e^x + x^2 e^x \) d) \( 2x e^x \)

Para calcular a derivada de \( \frac{d}{dx} (x^2 e^x) \), utilizamos a regra do produto, que diz que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto é dada por: \[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u' \cdot v + u \cdot v' \] Neste caso, temos: - \( u = x^2 \) e \( v = e^x \) Calculando as derivadas: - \( u' = 2x \) - \( v' = e^x \) Agora aplicamos a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(x^2 e^x) = (2x) \cdot (e^x) + (x^2) \cdot (e^x) \] Isso pode ser fatorado como: \[ e^x (2x + x^2) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( x^2 e^x + 2x e^x \) - Correto, mas não está na forma fatorada. b) \( e^x \cdot (2x + x^2) \) - Correto e na forma fatorada. c) \( 2x e^x + x^2 e^x \) - Correto, mas não está na forma fatorada. d) \( 2x e^x \) - Incorreto, pois falta o termo \( x^2 e^x \). A alternativa que apresenta a resposta correta e na forma fatorada é: b) \( e^x \cdot (2x + x^2) \).