Mostre que Z(S3) = {Id}.

Para mostrar que \( Z(S_3) = \{Id\} \), onde \( Z(G) \) é o centro de um grupo \( G \), precisamos entender o que é o centro. 1. Definição do Centro: O centro de um grupo \( G \), \( Z(G) \), é o conjunto de todos os elementos \( g \in G \) que comutam com todos os outros elementos de \( G \). Ou seja, \( Z(G) = \{ g \in G \mid gx = xg \text{ para todo } x \in G \} \). 2. Grupo \( S_3 \): O grupo \( S_3 \) é o grupo das permutações de 3 elementos, que tem 6 elementos: \( \{Id, (12), (13), (23), (123), (132)\} \). 3. Verificação dos Elementos: - O elemento identidade \( Id \) comuta com todos os elementos. - Para as transposições \( (12), (13), (23) \): - \( (12)(13) \neq (13)(12) \) - \( (12)(23) \neq (23)(12) \) - \( (13)(23) \neq (23)(13) \) - Para as 3-ciclos \( (123) \) e \( (132) \): - \( (123)(12) \neq (12)(123) \) - \( (123)(13) \neq (13)(123) \) - E assim por diante. 4. Conclusão: Nenhum elemento diferente de \( Id \) comuta com todos os outros elementos de \( S_3 \). Portanto, o único elemento que está no centro de \( S_3 \) é \( Id \). Assim, concluímos que \( Z(S_3) = \{Id\} \).