Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). A) 0

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 1. Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada de \( \tan(2x) \) é \( 2\sec^2(2x) \). - Derivada de \( x \) é \( 1 \). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} \] 3. Agora, substituímos \( x = 0 \): \[ \sec^2(2 \cdot 0) = \sec^2(0) = 1 \] 4. Portanto, o limite é: \[ 2 \cdot 1 = 2 \] Assim, o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \) é \( 2 \). A resposta correta não é A) 0, mas sim \( 2 \).