disciplina UI

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<p>D) \( \infty \)</p><p>**Resposta: C)** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), temos \( \lim_{x</p><p>\to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{2} \).</p><p>29. Qual é a equação da reta tangente à função \( f(x) = x^2 \) no ponto \( (1, 1) \)?</p><p>A) \( y = 2x - 1 \)</p><p>B) \( y = 2x - 2 \)</p><p>C) \( y = x^2 \)</p><p>D) \( y = x + 1 \)</p><p>**Resposta: A)** A derivada de \( f(x) = x^2 \) é \( f'(x) = 2x \). No ponto \( x = 1 \), temos \(</p><p>f'(1) = 2 \). Portanto, a equação da reta tangente é \( y - 1 = 2(x - 1) \), que simplifica para \( y</p><p>= 2x - 1 \).</p><p>30. Calcule o valor de \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4 + C \)</p><p>C) \( 2x^4 - x^3 + 4 + C \)</p><p>D) \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + 4x + C \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \), \( \int -3x^2 \, dx = -x^3 \),</p><p>e \( \int 4 \, dx = 4x \). Portanto, \( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \).</p><p>31. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: C)** O limite resulta em uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Podemos</p><p>fatorar o numerador: \( \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} \). Cancelando \( x - 1 \), obtemos \(</p><p>\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \).</p><p>32. Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 + 3x^3 - 2x + 1 \)?</p><p>A) \( 5x^4 + 9x^2 - 2 \)</p><p>B) \( 5x^4 + 3x^2 - 2 \)</p><p>C) \( 5x^4 + 3x^2 + 1 \)</p><p>D) \( 5x^4 + 3x^3 - 2 \)</p><p>**Resposta: A)** A derivada de um polinômio é encontrada aplicando a regra do poder.</p><p>Portanto, \( f'(x) = 5x^4 + 9x^2 - 2 \).</p><p>33. Calcule o valor de \( \int_0^2 (x^2 - x + 1) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{4}{3} \)</p><p>B) \( 2 \)</p><p>C) \( 3 \)</p><p>D) \( 4 \)</p><p>**Resposta: C)** A integral é \( \int (x^2) \, dx = \frac{x^3}{3} \), \( \int (-x) \, dx = -</p><p>\frac{x^2}{2} \), e \( \int 1 \, dx = x \). Avaliando de 0 a 2: \( \left[\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} +</p><p>2\right] - [0] = \left[\frac{8}{3} - 2 + 2\right] = \frac{8}{3} \).</p><p>34. Qual é a integral definida \( \int_1^2 (3x^2 - 2) \, dx \)?</p><p>A) \( 5 \)</p><p>B) \( 4 \)</p><p>C) \( 3 \)</p><p>D) \( 2 \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int (3x^2) \, dx = x^3 \) e \( \int (-2) \, dx = -2x \). Avaliando</p><p>de 1 a 2: \( [2^3 - 2(2)] - [1^3 - 2(1)] = [8 - 4] - [1 - 2] = 4 + 1 = 5 \).</p><p>35. Determine a segunda derivada de \( f(x) = e^{3x} \).</p><p>A) \( 9e^{3x} \)</p><p>B) \( 3e^{3x} \)</p><p>C) \( e^{3x} \)</p><p>D) \( 27e^{3x} \)</p><p>**Resposta: A)** A primeira derivada é \( f'(x) = 3e^{3x} \). A segunda derivada é \( f''(x) =</p><p>9e^{3x} \).</p><p>36. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)?</p><p>A) \( -\frac{1}{x^2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2} \)</p><p>C) \( -\frac{1}{x} \)</p><p>D) \( \frac{1}{x} \)</p><p>**Resposta: A)** Usando a regra do poder, temos \( f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \).</p><p>37. Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: C)** Usando a propriedade fundamental de limites, temos \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3 \).</p><p>38. Qual é a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 + 2) \, dx \)?</p><p>A) \( 2 \)</p><p>B) \( 3 \)</p><p>C) \( 1 \)</p><p>D) \( 4 \)</p><p>**Resposta: B)** A integral é \( \int (4x^3) \, dx = x^4 \) e \( \int 2 \, dx = 2x \). Avaliando de</p><p>0 a 1: \( [1^4 + 2(1)] - [0] = 1 + 2 = 3 \).</p><p>39. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( \infty \)</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: A)** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2x} = 0 \).</p><p>40. Calcule o valor de \( \int (x^4 + 2x^2 - 3) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 3x + C \)</p><p>C) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{2}x^3 - 3x + C \)</p><p>D) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 3 + C \)</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int x^4 \, dx = \frac{1}{5}x^5 \), \( \int 2x^2 \, dx =</p><p>\frac{2}{3}x^3 \), e \( \int -3 \, dx = -3x \). Portanto, \( \int (x^4 + 2x^2 - 3) \, dx = \frac{1}{5}x^5</p><p>+ \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \).</p><p>41. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(5x) \)?</p><p>A) \( \frac{1}{x} \)</p><p>B) \( \frac{5}{x} \)</p><p>C) \( \frac{1}{5x} \)</p><p>D) \( \frac{5}{5x} \)</p><p>**Resposta: A)** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{5x} \cdot 5 =</p><p>\frac{1}{x} \).</p><p>42. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \).</p><p>A) 0</p><p>B) \( \frac{1}{6} \)</p><p>C) 1</p><p>D) Não existe</p><p>**Resposta: B)** Usando a série de Taylor para \( \sin(x) \), temos \( \sin(x) = x -</p><p>\frac{x^3}{6} + O(x^5) \). Portanto, \( x - \sin(x) \approx \frac{x^3}{6} \) e o limite se torna \(</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^3} = \frac{1}{6} \).</p><p>43. Qual é a integral definida \( \int_1^3 (x^3 - 3x^2 + 3) \, dx \)?</p><p>A) 4</p><p>B) 2</p><p>C) 0</p><p>D) 1</p><p>**Resposta: A)** A integral é \( \int (x^3) \, dx = \frac{x^4}{4} \), \( \int (-3x^2) \, dx = -x^3 \),</p><p>e \( \int 3 \, dx = 3x \). Avaliando de 1 a 3: \( \left[\frac{3^4}{4} - 3^3 + 3(3)\right] -</p><p>\left[\frac{1^4}{4} - 1^3 + 3(1)\right] = \left[\frac{81}{4} - 27 + 9\right] - \left[\frac{1}{4} - 1 +</p><p>3\right] = \left[\frac{81 - 108 + 36}{4}\right] - \left[\frac{1 - 4 + 12}{4}\right] = \frac{9}{4} -</p><p>\frac{9}{4} = 0 \).</p><p>44. Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \).</p><p>A) 0</p>