Com o objetivo de se tornar cada vez mais sustentável, uma empresa planeja reduzir as suas emissões de carbono de forma exponencial. Para tanto, uma consultoria contratada para auxiliar nesse processo modelou a emissão anual E, em tonelada de carbono, em função do número t de anos após o início da redução, por meio da expressão E=Eo. 2kt, em que Eo é a quantidade, em tonelada, de carbono emitido inicialmente (ou seja, quando t = 0) ek é uma constante negativa. A meta do plano é tal que, na comparação das emissões anuais em t = 4 e t = 8, se espera obter uma diferença equivalente a 25% de Eo. Além disso, o marco almejado para t = 16 é de 50 000 toneladas de carbono emitidas em um ano. Qual é a emissão inicial Eo, em tonelada de carbono, dessa empresa?

Question

Com o objetivo de se tornar cada vez mais sustentável, uma empresa planeja reduzir as suas emissões de carbono de forma exponencial. Para tanto, um...

Ed · Answer

Para resolver a questão, vamos usar a expressão dada para a emissão anual $ E $:

$$ E = E_0 \cdot 2^{kt} $$

1. **Diferença entre $ t = 4 $ e $ t = 8 $**:
   - Emissão em $ t = 4 $:
     $$ E(4) = E_0 \cdot 2^{4k} $$
   - Emissão em $ t = 8 $:
     $$ E(8) = E_0 \cdot 2^{8k} $$
   - A diferença entre as emissões deve ser 25% de $ E_0 $:
     $$ E(8) - E(4) = 0,25 E_0 $$
   - Substituindo as emissões:
     $$ E_0 \cdot 2^{8k} - E_0 \cdot 2^{4k} = 0,25 E_0 $$
   - Dividindo por $ E_0 $ (assumindo $ E_0 \neq 0 $):
     $$ 2^{8k} - 2^{4k} = 0,25 $$

2. **Marco para $ t = 16 $**:
   - Emissão em $ t = 16 $:
     $$ E(16) = E_0 \cdot 2^{16k} = 50.000 $$

Agora, temos duas equações:

1. $ 2^{8k} - 2^{4k} = 0,25 $
2. $ E_0 \cdot 2^{16k} = 50.000 $

Vamos resolver a primeira equação:

- Definindo $ x = 2^{4k} $:
  $$ x^2 - x = 0,25 $$
  $$ x^2 - x - 0,25 = 0 $$

Usando a fórmula de Bhaskara:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
onde $ a = 1, b = -1, c = -0,25 $:
$$ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 1}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2} $$

Escolhendo a raiz positiva:
$$ x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} $$

Agora, substituindo $ x $ de volta:
$$ 2^{4k} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} $$

Para encontrar $ k $:
$$ 4k = \log_2\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right) $$
$$ k = \frac{1}{4} \log_2\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right) $$

Agora, substituindo $ k $ na segunda equação:
$$ E_0 \cdot 2^{16k} = 50.000 $$
$$ E_0 \cdot \left(2^{4k}\right)^4 = 50.000 $$
$$ E_0 \cdot \left(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)^4 = 50.000 $$

Calculando $ \left(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)^4 $ e isolando $ E_0 $:
$$ E_0 = \frac{50.000}{\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)^4} $$

Assim, você pode calcular $ E_0 $ para encontrar a emissão inicial em toneladas de carbono.

Pesquisa Quantitativa

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Mais conteúdos dessa disciplina