Seja 0 < a < 1. Considere x_n = 1 + a + a² + ... + a^n. Qual o limite desta sequência?

Para encontrar o limite da sequência \( x_n = 1 + a + a^2 + \ldots + a^n \), podemos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica. A soma de uma PG finita é dada por: \[ S_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \] Assim, temos: \[ x_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \] Como \( 0 < a < 1 \), à medida que \( n \) tende ao infinito, \( a^{n+1} \) tende a 0. Portanto, o limite de \( x_n \) é: \[ \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1 - 0}{1 - a} = \frac{1}{1 - a} \] Portanto, o limite da sequência \( x_n \) é \( \frac{1}{1 - a} \).