Vamos analisar cada afirmação: I) Os pontos A, B e D são colineares. Para verificar se os pontos são colineares, podemos calcular o determinante formado por eles. Se o determinante for zero, os pontos são colineares. Os pontos A(1,2), B(3,5) e D(2,3) formam o seguinte determinante: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(5-3) - 2(3-2) + 1(3-10) = 2 - 2 - 7 = -7 \neq 0 \] Portanto, A, B e D não são colineares. A afirmação I é falsa. II) Uma reta perpendicular à reta determinada pelos pontos A e B tem coeficiente angular \( m = -\frac{2}{3} \). Primeiro, vamos calcular o coeficiente angular da reta AB: \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 2}{3 - 1} = \frac{3}{2} \] O coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do inverso: \[ m_{perpendicular} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3} \] Portanto, a afirmação II é verdadeira. III) A distância do ponto A à reta determinada pelos pontos B e C. A fórmula da distância de um ponto a uma reta é: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta BC. Os pontos B(3,5) e C(1,1) têm coeficiente angular: \[ m_{BC} = \frac{1 - 5}{1 - 3} = \frac{-4}{-2} = 2 \] A equação da reta na forma \( y = mx + b \): \[ y - 5 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 + 5 \implies y = 2x - 1 \] A equação geral da reta é \( 2x - y - 1 = 0 \). Agora, aplicamos a fórmula da distância: \[ d = \frac{|2(1) - 2 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0,447 \] Portanto, a afirmação III é falsa, pois a distância não é 10 unidades. Com isso, temos: - I: Falsa - II: Verdadeira - III: Falsa A alternativa correta é: a) Apenas a afirmação II é verdadeira.