Para determinar a resposta correta, precisamos analisar o polinômio \( P(x) = x^5 - 2x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x - 2 \) e a informação de que \( 1 + r \) é uma das raízes. 1. Substituição da raiz: Se \( 1 + r \) é uma raiz, podemos substituir \( x = 1 + r \) no polinômio e verificar se ele se anula. 2. Análise do polinômio: O polinômio é de grau 5, o que significa que ele terá 5 raízes (contando multiplicidades) no total, que podem ser reais ou complexas. 3. Alternativas: - a) O polinômio não possui raízes reais: Isso é improvável, já que sabemos que \( 1 + r \) é uma raiz. - b) O polinômio possui exatamente duas raízes racionais: Não podemos afirmar isso sem mais informações. - c) O polinômio possui exatamente duas raízes distintas: Também não podemos afirmar isso sem mais informações. - d) O polinômio possui quatro raízes complexas não-reais: Isso é possível, mas não é garantido. - e) O polinômio possui exatamente quatro raízes distintas: Isso também não pode ser garantido. Dado que temos uma raiz real (1 + r), é mais provável que o polinômio tenha pelo menos uma outra raiz real. Portanto, a alternativa que parece mais plausível, considerando que não temos informações suficientes para afirmar as outras opções, é: c) O polinômio possui exatamente duas raízes distintas. Entretanto, essa conclusão deve ser verificada com mais detalhes sobre as raízes do polinômio.