Para resolver a questão, vamos analisar as duas partes separadamente. Parte a) A data de nascimento de João é 15/12/1951, que contém os algarismos: 1, 5, 1, 2, 1, 9, 5, 1. Os algarismos disponíveis são: 1, 1, 1, 2, 5, 5, 9. Para formar uma sequência de 8 dígitos, precisamos considerar a repetição dos algarismos. A fórmula para calcular o número de permutações de n elementos, onde alguns elementos se repetem, é: \[ P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!} \] Aqui, temos: - Total de algarismos (n) = 8 - Três algarismos "1" (n1 = 3) - Dois algarismos "5" (n2 = 2) Assim, a fórmula fica: \[ P = \frac{8!}{3! \cdot 2!} = \frac{40320}{6 \cdot 2} = \frac{40320}{12} = 3360 \] Portanto, João terá 3360 opções de senha. Parte b) Agora, para a senha de quatro dígitos, usando apenas os seis últimos dígitos da data de nascimento (12/1951), que são: 1, 9, 5, 1. Os algarismos disponíveis são: 1, 1, 5, 9. Para formar uma sequência de 4 dígitos, novamente usamos a fórmula de permutações: Aqui, temos: - Total de algarismos (n) = 4 - Dois algarismos "1" (n1 = 2) Assim, a fórmula fica: \[ P = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \] Portanto, João terá 12 opções de senha. Resumindo: a) 3360 opções de senha. b) 12 opções de senha.