Determine a distância entre o centro da circunferência ????² − 2???? + ????² + 6???? − 6 = 0 e a reta 3???? = −4???? − 1. a) 12/5 b) 4/5 c) 5 d) 1 e) 1/5

Para resolver a questão, vamos seguir os passos necessários: 1. Encontrar o centro da circunferência: A equação da circunferência é dada por \(x^2 - 2x + y^2 + 6y - 6 = 0\). Vamos reescrevê-la na forma padrão. - Agrupando os termos: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 6 \] - Completando o quadrado: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 6 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16 \] O centro da circunferência é \(C(1, -3)\). 2. Encontrar a equação da reta: A reta é dada por \(3x = -4y - 1\), que podemos reescrever como: \[ 4y + 3x + 1 = 0 \] 3. Calcular a distância do ponto \(C(1, -3)\) à reta: A fórmula da distância \(d\) de um ponto \((x_0, y_0)\) a uma reta \(Ax + By + C = 0\) é: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Aqui, \(A = 3\), \(B = 4\) e \(C = 1\). Substituindo \(x_0 = 1\) e \(y_0 = -3\): \[ d = \frac{|3(1) + 4(-3) + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 12 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-8|}{5} = \frac{8}{5} \] 4. Verificando as alternativas: A distância calculada é \(\frac{8}{5}\), mas não está entre as opções. Vamos verificar se houve algum erro. Após revisar, percebo que a distância correta é \(\frac{8}{5}\), mas não está nas opções. Portanto, parece que a questão pode ter um erro nas alternativas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!