Determine o conjunto solução para a equação 6 sem2(????) − 9 sem(????) + 3 = 0.

a){???? ∈ ℝ; ???? = ????/2 + 2???????? ???????? ???? = ????/6 + 2???????? ???????? ???? = 5????/6 + 2????????, ???? ∈ ℤ}
b){???? ∈ ℝ; ???? = ????/4 + 2???????? ???????? ???? = ????/3 + 2???????? ???????? ???? = 5????/6 + 2????????, ???? ∈ ℤ}
c){???? ∈ ℝ; ???? = 2???????? ???????? ???? = ????/4 + 2????????, ???? ∈ ℤ}
d){???? ∈ ℝ; ???? = ????/4 ???????? ???? = ????/3}
e){???? ∈ ℝ; ???? = ????/6 ???????? ???? = ????/2 ???????? ???? = ????/4}

Question

Determine o conjunto solução para a equação 6 sem2(????) − 9 sem(????) + 3 = 0.

a){???? ∈ ℝ; ???? = ????/2 + 2???????? ???????? ???? = ????/6 + 2???????? ???????? ???? = 5????/6 + ...

Ed · Answer

Para resolver a equação $6 \sin^2(x) - 9 \sin(x) + 3 = 0$, vamos fazer uma substituição. Seja $y = \sin(x)$. A equação se torna:

$$6y^2 - 9y + 3 = 0$$

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

onde $a = 6$, $b = -9$ e $c = 3$.

Calculando o discriminante:

$$b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 81 - 72 = 9$$

Agora, substituindo na fórmula:

$$y = \frac{9 \pm 3}{12}$$

Isso nos dá duas soluções:

1. $y_1 = \frac{12}{12} = 1$
2. $y_2 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Agora, voltamos para $x$:

1. Para $y = 1$:
   $\sin(x) = 1$ implica $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, onde $k \in \mathbb{Z}$.

2. Para $y = \frac{1}{2}$:
   $\sin(x) = \frac{1}{2}$ implica $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, onde $k \in \mathbb{Z}$.

Assim, o conjunto solução é:

$$
\{x \in \mathbb{R}; x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}
$$

Portanto, a resposta correta é a letra **a)**.

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