sec2 (5)+cossec2( 5) cossec2 (10)O valor de é igual a: (A) 1/2 (B) 1 (C) 2 (D) 5/2 (E) 4

Para resolver a expressão \( \sec^2(5) + \csc^2(5) \) e dividir por \( \csc^2(10) \), vamos usar as identidades trigonométricas: 1. \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \) 2. \( \csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) \) Assim, temos: \[ \sec^2(5) = 1 + \tan^2(5) \] \[ \csc^2(5) = 1 + \cot^2(5) \] Portanto: \[ \sec^2(5) + \csc^2(5) = (1 + \tan^2(5)) + (1 + \cot^2(5)) = 2 + \tan^2(5) + \cot^2(5) \] Sabemos que \( \tan^2(x) \cdot \cot^2(x) = 1 \), então: \[ \tan^2(5) + \cot^2(5) = \tan^2(5) + \frac{1}{\tan^2(5)} \] Isso é igual a \( t + \frac{1}{t} \), onde \( t = \tan^2(5) \). O mínimo valor de \( t + \frac{1}{t} \) é 2, quando \( t = 1 \). Assim, \( \tan^2(5) + \cot^2(5) \geq 2 \). Portanto: \[ \sec^2(5) + \csc^2(5) \geq 4 \] Agora, precisamos calcular \( \csc^2(10) \): \[ \csc^2(10) = 1 + \cot^2(10) \] Como \( \cot^2(10) \) é positivo, \( \csc^2(10) > 1 \). Assim, a expressão \( \frac{\sec^2(5) + \csc^2(5)}{\csc^2(10)} \) será maior que 2. Dentre as opções, a única que se encaixa é: (C) 2.