3. A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição PA = LU.

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A afirmação está correta. A decomposição de Cholesky é uma técnica específica para matrizes simétricas e definidas positivas, e ela requer menos operações elementares do que a decomposição LU (PA = LU) para matrizes gerais. Em termos práticos, a decomposição de Cholesky envolve aproximadamente \( \frac{1}{3}n^3 \) operações, enquanto a decomposição LU requer cerca de \( \frac{2}{3}n^3 \) operações, onde \( n \) é a dimensão da matriz. Portanto, para matrizes que atendem às condições da decomposição de Cholesky, essa técnica é mais eficiente.

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Q4: Resolva o sistema linear Ax = b pelo método de decomposição PA = LU, com pivotação parcial, onde A = (1 1,2 −1,9 3,4 5 1 −2,2 −2,5 1,5 0,3 −1,25 1,75 0,5 6,5) b =(3 1 10 5). Identifique L,U, P e a solução x : Ax = b.

Q5: Dada a matriz A e o vetor b, A =(9 3 6 −3 3 5 0 −1 6 0 30 8 −3 −1 8 69) b =(9 5 −50 103) resolva o sistema linear Ax = b através da Decomposição de Cholesky.

Cálculo Numérico

3. A decomposição de Cholesky emprega menos operações elementares que a decomposição PA = LU.

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Q1: Determine os autovalores de A = (3 −1 10 5) e de B =(1 7 −1 0 −1 8 0 0 −4).

Q3: Calcule os autovalores de C = (3 5 9 0 4 1 0 1 2).

Q4: Resolva o sistema linear Ax = b pelo método de decomposição PA = LU, com pivotação parcial, onde A = (1 1,2 −1,9 3,4 5 1 −2,2 −2,5 1,5 0,3 −1,25 1,75 0,5 6,5) b =(3 1 10 5). Identifique L,U, P e a solução x : Ax = b.

Q5: Dada a matriz A e o vetor b, A =(9 3 6 −3 3 5 0 −1 6 0 30 8 −3 −1 8 69) b =(9 5 −50 103) resolva o sistema linear Ax = b através da Decomposição de Cholesky.

Q8: Responda verdadeiro ou falso (e justifique): 1. A ∈ Rn×n, b ∈ Rn. Se posto(A) = posto([A|b]) então o sistema linear Ax = b admite solução única.

2. A ∈ Rn×n, b ∈ Rn. Se posto(A) 6= posto([A|b]) então o sistema linear Ax = b não admite solução.

4. A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para se resolver sistemas lineares Ax = b se A for simétrica e positiva definida.

9. Não é possível resolver um sistema linear Ax = b via Fatoração de Cholesky, se A for uma matriz não simétrica, ainda que tenha posto completo.

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