Para resolver a questão, vamos primeiro encontrar as somas \( S_A \) e \( S_B \) das progressões aritméticas (P.A.) dadas. 1. Progressão Aritmética A (8, 12, ...): - Primeiro termo \( a_1 = 8 \) - Razão \( r_A = 12 - 8 = 4 \) - A soma dos \( n \) primeiros termos é dada por: \[ S_A = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)r_A) = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 8 + (n-1) \cdot 4) = \frac{n}{2} \cdot (16 + 4n - 4) = \frac{n}{2} \cdot (4n + 12) = 2n(n + 3) \] 2. Progressão Aritmética B (17, 19, ...): - Primeiro termo \( b_1 = 17 \) - Razão \( r_B = 19 - 17 = 2 \) - A soma dos \( n \) primeiros termos é dada por: \[ S_B = \frac{n}{2} \cdot (2b_1 + (n-1)r_B) = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 17 + (n-1) \cdot 2) = \frac{n}{2} \cdot (34 + 2n - 2) = \frac{n}{2} \cdot (2n + 32) = n(n + 16) \] 3. Igualando as somas: \[ S_A = S_B \implies 2n(n + 3) = n(n + 16) \] Como \( n \neq 0 \), podemos dividir ambos os lados por \( n \): \[ 2(n + 3) = n + 16 \] Resolvendo a equação: \[ 2n + 6 = n + 16 \implies 2n - n = 16 - 6 \implies n = 10 \] Agora, vamos analisar as alternativas: - a) múltiplo de 3: 10 não é múltiplo de 3. - b) múltiplo de 5: 10 é múltiplo de 5. - c) múltiplo de 7: 10 não é múltiplo de 7. - d) divisor de 16: 10 não é divisor de 16. - e) primo: 10 não é um número primo. Portanto, a única alternativa correta é: b) múltiplo de 5.