4. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de 12/ radianos, que arco ponteiro maior percorre?

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre os ponteiros do relógio. 1. O ponteiro menor (horas) completa uma volta de \(2\pi\) radianos em 12 horas. 2. O ponteiro maior (minutos) completa uma volta de \(2\pi\) radianos em 60 minutos. Primeiro, vamos calcular quantas horas o ponteiro menor percorreu ao mover-se \( \frac{12}{\pi} \) radianos: \[ \text{Horas} = \frac{\frac{12}{\pi}}{2\pi} \times 12 = \frac{12 \times 12}{2\pi^2} = \frac{72}{2\pi^2} = \frac{36}{\pi^2} \text{ horas} \] Agora, para saber quanto o ponteiro maior percorre em \( \frac{36}{\pi^2} \) horas, precisamos converter isso em minutos: \[ \text{Minutos} = \frac{36}{\pi^2} \times 60 = \frac{2160}{\pi^2} \text{ minutos} \] Agora, vamos calcular o arco que o ponteiro maior percorre: \[ \text{Arco do ponteiro maior} = \frac{2160}{\pi^2} \times \frac{2\pi}{60} = \frac{2160 \times 2\pi}{60\pi^2} = \frac{72}{\pi} \text{ radianos} \] Portanto, o arco que o ponteiro maior percorre é \( \frac{72}{\pi} \) radianos.