Para determinar a série de Fourier de uma função, precisamos analisar cada uma das opções apresentadas e verificar qual delas é mais adequada para a aplicação da série de Fourier. 1. a) \( f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x < \pi \end{cases} \) - Esta função é contínua no intervalo, mas não é periódica. 2. b) \( f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0 \\ \sen x, & 0 \leq x < \pi \end{cases} \) - Esta função também é contínua e a função seno é periódica. 3. c) \( f(x) = \begin{cases} 0, & -2 < x < -1 \\ -2, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & 0 \leq x < 1 \\ 0, & 1 \leq x < 2 \end{cases} \) - Esta função é definida em partes, mas não é contínua em todos os pontos. 4. d) \( f(x) = \begin{cases} 1, & -5 < x < 0 \\ 1 + x, & 0 \leq x < 5 \end{cases} \) - Esta função é contínua e pode ser analisada para a série de Fourier. 5. e) \( f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x \leq 0 \\ x, & 0 < x < \pi \end{cases} \) - Esta função é contínua e pode ser analisada. 6. f) \( f(x) = 3 \sen(2x) \cos(3x), -\pi < x < \pi \) - Esta função é uma combinação de funções senoidais e é periódica. Dentre as opções, as funções que podem ser representadas por séries de Fourier são aquelas que são periódicas ou que podem ser estendidas periodicamente. As opções b), d), e) e f) são as mais adequadas. No entanto, a opção f) é uma função que já está na forma de uma série de Fourier, pois é uma combinação de senos e cossenos. Portanto, a resposta correta, considerando a aplicação direta da série de Fourier, é: f) \( f(x) = 3 \sen(2x) \cos(3x), -\pi < x < \pi \)