Para que a sequência \( y, \frac{3}{2}, x, \frac{2}{3}, \frac{4}{9} \) seja uma progressão geométrica (PG), a razão entre os termos consecutivos deve ser constante. Vamos denotar a razão da PG como \( r \). 1. A razão entre o primeiro e o segundo termo é: \[ r = \frac{\frac{3}{2}}{y} \] 2. A razão entre o segundo e o terceiro termo é: \[ r = \frac{x}{\frac{3}{2}} = \frac{2x}{3} \] 3. A razão entre o terceiro e o quarto termo é: \[ r = \frac{\frac{2}{3}}{x} \] 4. A razão entre o quarto e o quinto termo é: \[ r = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \] Agora, igualamos as razões: - Igualando a primeira e a última: \[ \frac{\frac{3}{2}}{y} = \frac{2}{3} \implies \frac{3}{2} = \frac{2y}{3} \implies 9 = 4y \implies y = \frac{9}{4} \] - Agora, igualando a segunda e a terceira: \[ \frac{2x}{3} = \frac{\frac{2}{3}}{x} \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ (considerando apenas a solução positiva)} \] Agora temos \( y = \frac{9}{4} \) e \( x = 1 \). A soma \( x + y \) é: \[ x + y = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{13}{4} \] Agora, vamos verificar as alternativas: A) \( \frac{6}{7} \) B) \( \frac{9}{13} \) C) \( \frac{8}{9} \) D) \( \frac{9}{5} \) E) \( \frac{8}{11} \) Nenhuma das alternativas corresponde a \( \frac{13}{4} \). Parece que houve um erro na interpretação ou na formulação da questão. Você pode verificar se a sequência ou as opções estão corretas?