Para resolver essa questão, vamos primeiro entender a relação entre a probabilidade de sucesso e a probabilidade de fracasso. Seja \( p \) a probabilidade de sucesso e \( q \) a probabilidade de fracasso. Segundo a questão, temos que: \[ p = \frac{1}{9}q \] Como \( p + q = 1 \), podemos substituir \( p \): \[ \frac{1}{9}q + q = 1 \] Isso se simplifica para: \[ \frac{1}{9}q + \frac{9}{9}q = 1 \] \[ \frac{10}{9}q = 1 \] \[ q = \frac{9}{10} \] Agora, substituindo \( q \) para encontrar \( p \): \[ p = \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \] Agora que temos as probabilidades, podemos calcular o número esperado de fracassos até o primeiro sucesso. O número esperado de fracassos em uma distribuição geométrica é dado por: \[ E(X) = \frac{q}{p} \] Substituindo os valores que encontramos: \[ E(X) = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}} = 9 \] Portanto, o número esperado de fracassos que deverão ocorrer até que se verifique o primeiro sucesso é igual a: d) 9.