Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: f ′(a) = lim h→0 (f(a+ h) − f(a))/h a) derivada de f(x) = x no ponto a = 0 b) derivada de f(x) = x2 + 1 no ponto a = 1 c) derivada de f(x) = x2 no ponto a = 1 d) derivada de f(x) = 3x3 − x no ponto a = 2 e) derivada de f(x) = x3 no ponto a = −1 f) derivada de f(x) = x4 no ponto a = 0 g) derivada de f(x) = √x no ponto a = 4 h) derivada de f(x) = 3√x no ponto a = 8 i) derivada de f(x) = 1/x no ponto a = 1 j) derivada de f(x) = 1/x no ponto a = −1

a) derivada de f(x) = x no ponto a = 0
b) derivada de f(x) = x2 + 1 no ponto a = 1
c) derivada de f(x) = x2 no ponto a = 1
d) derivada de f(x) = 3x3 − x no ponto a = 2
e) derivada de f(x) = x3 no ponto a = −1
f) derivada de f(x) = x4 no ponto a = 0
g) derivada de f(x) = √x no ponto a = 4
h) derivada de f(x) = 3√x no ponto a = 8
i) derivada de f(x) = 1/x no ponto a = 1
j) derivada de f(x) = 1/x no ponto a = −1

Question

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: f ′(a) = lim h→0 (f(a+ h) − f(a))/h a) der...

Ed · Answer

Para calcular a derivada de cada função no ponto indicado usando o limite do quociente de Newton, vamos aplicar a definição de derivada:

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$

Vamos analisar cada uma das opções:

a) **Derivada de f(x) = x no ponto a = 0**:
$$ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(0 + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1 $$

b) **Derivada de f(x) = x² + 1 no ponto a = 1**:
$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 + 1 - (1^2 + 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + 2h + h^2 + 1) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 $$

c) **Derivada de f(x) = x² no ponto a = 1**:
$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 $$

d) **Derivada de f(x) = 3x³ - x no ponto a = 2**:
$$ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(3(2 + h)^3 - (2 + h)) - (3(2^3) - 2)}{h} $$
Calculando isso, você encontrará que a derivada é  3(2^2) - 1 = 11.

e) **Derivada de f(x) = x³ no ponto a = -1**:
$$ f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(-1 + h)^3 - (-1)^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(-1 + 3h - 3h^2 + h^3) + 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h - 3h^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (3 - 3h + h^2) = 3 $$

f) **Derivada de f(x) = x⁴ no ponto a = 0**:
$$ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{(0 + h)^4 - 0^4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^4}{h} = \lim_{h \to 0} h^3 = 0 $$

g) **Derivada de f(x) = √x no ponto a = 4**:
$$ f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - \sqrt{4}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + h} - 2}{h} $$
Multiplicando pelo conjugado, você encontrará que a derivada é 1/4.

h) **Derivada de f(x) = 3√x no ponto a = 8**:
$$ f'(8) = \lim_{h \to 0} \frac{3\sqrt{8 + h} - 3\sqrt{8}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3(\sqrt{8 + h} - 2\sqrt{2})}{h} $$
Multiplicando pelo conjugado, você encontrará que a derivada é 3/4.

i) **Derivada de f(x) = 1/x no ponto a = 1**:
$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1/(1 + h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - (1 + h)}{h(1 + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(1 + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{1 + h} = -1 $$

j) **Derivada de f(x) = 1/x no ponto a = -1**:
$$ f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{1/(-1 + h) - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1 + h}{h(-1 + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{h - 1}{h(-1 + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{-1} = 1 $$

Resumindo, as derivadas são:
- a) 1
- b) 2
- c) 2
- d) 11
- e) 3
- f) 0
- g) 1/4
- h) 3/4
- i) -1
- j) 1

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Ache o coeficiente angular da reta secante a parábola y = 2x− x2 se as abscissas dos pontos de intersecção são iguais a:

a) x1 = 1 x2 = 2
b) x1 = 1 x2 = 1.1
c) x1 = 1 x2 = 1.01
d) x1 = 1 x2 = 1 + h

Ache a razão ∆y/∆x para a função y = 1/x a) no ponto 2 e ∆x = 1 b) no ponto 2 e ∆x = 0.1 c) no ponto 2 e ∆x = 0.01

a) no ponto 2 e ∆x = 1
b) no ponto 2 e ∆x = 0.1
c) no ponto 2 e ∆x = 0.01

Quanto vale lim∆x→0 ∆y/∆x para a função y = 1/x?

Mostre que não existe a derivada de g(x) = |x| em x = 0. Calcule a derivada para x ̸= 0.

Mostre a partir da definição de derivada que a) d/dx cos(x) = − sen(x). b) d/dx sen(x) = cos(x).

a) d/dx cos(x) = − sen(x).
b) d/dx sen(x) = cos(x).

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Quanto vale lim∆x→0 ∆y/∆x para a função y = 1/x?

Mostre que não existe a derivada de g(x) = |x| em x = 0. Calcule a derivada para x ̸= 0.

Mostre a partir da definição de derivada que a) d/dx cos(x) = − sen(x). b) d/dx sen(x) = cos(x).a) d/dx cos(x) = − sen(x).b) d/dx sen(x) = cos(x).

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c) x1 = 1 x2 = 1.01
d) x1 = 1 x2 = 1 + h

Ache a razão ∆y/∆x para a função y = 1/x a) no ponto 2 e ∆x = 1 b) no ponto 2 e ∆x = 0.1 c) no ponto 2 e ∆x = 0.01

a) no ponto 2 e ∆x = 1
b) no ponto 2 e ∆x = 0.1
c) no ponto 2 e ∆x = 0.01

Mostre a partir da definição de derivada que a) d/dx cos(x) = − sen(x). b) d/dx sen(x) = cos(x).

a) d/dx cos(x) = − sen(x).
b) d/dx sen(x) = cos(x).