Para encontrar a razão \(\Delta y / \Delta x\) para a função \(y = \frac{1}{x}\) em um ponto específico, precisamos calcular a variação de \(y\) quando \(x\) varia por um valor \(\Delta x\). 1. Definindo o ponto: Vamos calcular no ponto \(x = 2\). 2. Calculando \(y\) no ponto: \[ y(2) = \frac{1}{2} = 0.5 \] 3. Calculando \(\Delta y\): \[ \Delta y = y(2 + \Delta x) - y(2) = \frac{1}{2 + \Delta x} - \frac{1}{2} \] 4. Calculando \(\Delta x\) para cada alternativa: - a) \(\Delta x = 1\): \[ \Delta y = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6} \] \[ \Delta y / \Delta x = -\frac{1}{6} / 1 = -\frac{1}{6} \] - b) \(\Delta x = 0.1\): \[ \Delta y = \frac{1}{2.1} - \frac{1}{2} \approx 0.4762 - 0.5 = -0.0238 \] \[ \Delta y / \Delta x \approx -0.238 \] - c) \(\Delta x = 0.01\): \[ \Delta y = \frac{1}{2.01} - \frac{1}{2} \approx 0.4975 - 0.5 = -0.0025 \] \[ \Delta y / \Delta x \approx -0.25 \] Agora, analisando as razões \(\Delta y / \Delta x\) para cada alternativa: - a) \(-\frac{1}{6} \approx -0.1667\) - b) \(-0.238\) - c) \(-0.25\) A razão \(\Delta y / \Delta x\) se torna mais precisa conforme \(\Delta x\) diminui. Portanto, a resposta correta, que representa a razão no ponto \(x = 2\) e com \(\Delta x\) menor, é a alternativa c), que é a que fornece a razão mais próxima do valor real da derivada da função \(y = \frac{1}{x}\) nesse ponto.