Determinar oângulo entre as seguintes retas: r1: Y=-2x+, Z=x-2 e r 2: Y=Z+1/-1;X=4

Para determinar o ângulo entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \), precisamos primeiro encontrar suas inclinações (coeficientes angulares). 1. Identificar as equações das retas: - A reta \( r_1 \) é dada por \( Y = -2x + Z = x - 2 \). Vamos reescrever isso: - Da primeira equação, temos \( Y = -2x \). - Da segunda, isolando \( Z \), temos \( Z = x - 2 \). - A reta \( r_2 \) é dada por \( Y = \frac{Z + 1}{-1} \) e \( X = 4 \). Vamos reescrever: - \( Y = -Z - 1 \). 2. Encontrar os coeficientes angulares: - Para \( r_1 \), a inclinação é \( m_1 = -2 \). - Para \( r_2 \), precisamos expressar \( Z \) em função de \( Y \): - \( Z = -Y - 1 \). Assim, a inclinação de \( r_2 \) é \( m_2 = -1 \). 3. Calcular o ângulo entre as retas: - A fórmula para o ângulo \( \theta \) entre duas retas é: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \] - Substituindo os valores: \[ \tan(\theta) = \left| \frac{-2 - (-1)}{1 + (-2)(-1)} \right| = \left| \frac{-2 + 1}{1 + 2} \right| = \left| \frac{-1}{3} \right| = \frac{1}{3} \] 4. Encontrar o ângulo: - Agora, para encontrar \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \] Portanto, o ângulo entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \) é \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \). Você pode usar uma calculadora para encontrar o valor numérico desse ângulo.