Grátis: Exemplo 6.6. Seja f : I → R, onde I = [a, b] ⊂ R, com a < b. Assuma que f e suas derivadas f ′, f ′′,. . . , f (n+1) existam e sejam contínuas em I... – Questões Respondidas

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Exemplo 6.6. Seja f : I → R, onde I = [a, b] ⊂ R, com a < b. Assuma que f e suas derivadas f ′, f ′′,. . . , f (n+1) existam e sejam contínuas em I. Se f (n+1)(x) = 0 para todo x ∈ I e f(x0) = f ′(x0) = · · · = f (n)(x0) = 0 para algum x0 ∈ I, então f(x) = 0 para todo x ∈ I.

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Exerćıcio 1.4. Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, i.e., A∩B = ∅. Seja X = A∪B. Mostre que A = X\B e B = X\A.

Exerćıcio 1.5. Sejam A e B dois conjuntos, e C = (A\B) ∪ (B\A). Mostre que C = (A ∪B)\(A ∩B) e que C ∩ A ∩B = ∅.

Exerćıcio 10.3. Sejam a < b números reais, e f : [a, b] → R cont́ınua em [a, b] e diferenciável em (a, b). Mostre que entre duas ráızes consecutivas de f ′ existe no máximo uma raiz de f.

Exerćıcio 10.4. Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = {xy2 / (x2 + y4) para (x, y) 6= (0, 0), 0 para (x, y) = (0, 0). Mostre que a derivada direcional de f em (0, 0) com respeito a u = (a, b) existe e que Duf(0, 0) = b2 / a, se a 6= 0. Mostre que f não é cont́ınua e portanto não é diferenciável no (0, 0).

Exerćıcio 10.6. Seja Q = (0, 1) × (0, 1). Suponha que f : Q → R, e g : Q → R sejam diferenciáveis em Q. Mostre que se f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ Q, então existe constante c tal que f(x) = g(x) + c para todo x ∈ Q.

Exerćıcio 10.8. Seja B = {x ∈ Rm : ‖x‖ ≤ 1} e f : B → R função cont́ınua em B, diferenciável no interior de B e tal que f ≡ 0 na fronteira de B. Mostre que f tem ponto cŕıtico no interior de B.

Exerćıcio 10.12. Sejam as funções f : R → R e g : R → R duas vezes diferenciáveis, com as segundas derivadas cont́ınuas. Suponha que o zero seja ponto de mı́nimo estrito de f e g, e que f(0) = g(0) = 1. Seja ϕ : R2 → R dada por ϕ(x, y) = f(x)g(y). O que podemos afirmar sobre a Hessiana de ϕ em (0, 0) (nada pode ser afirmado, ela é indefinida, positiva definida, positiva semi-definida, negativa definida, etc)? O que podemos afirmar sobre o ponto (0, 0) em relação à ϕ (nada pode ser afirmado, é ponto de máximo, de máximo estrito, de mı́nimo, de mı́nimo estrito, de sela, etc)? Justifique suas respostas.

Exerćıcio 10.13. Seja f : R → R3 diferenciável e tal que ‖f(t)‖ = 1 para todo t ∈ R. Mostre então que f ′(t) · f(t) = 0. O vetor f ′(t) é o vetor tangente da curva f em t.

Exerćıcio 10.14. Seja Ω ⊆ Rm aberto e f : Ω → R diferenciável em x ∈ Ω. Seja ∇f(x) = (∂f/∂x1, . . . , ∂f/∂xm)(x) ∈ Rm. Supondo que x não é ponto cŕıtico de f , mostre que a derivada direcional Duf(x) atinge seu máximo quando u = c∇f(x) para algum c > 0. O vetor ∇f é chamado de vetor gradiente de f , e dá a direção de “maior crescimento” da função f no ponto x.

Seja A a matriz na base canônica do operador linear L : R3 → R3 dado por L(x, y, z) = (x+ 2y + 3z, 4x+ 5y + 6z, 7x+ 8y + 9z). Denote por λ1, λ2, λ3 os autovalores da matriz A. Julgue os itens abaixo:

0 O posto de A é 2.
1 L(1,−2, 1) = (0, 0, 0).
2 λ1λ2λ3 6= 0.
3 λ1 + λ2 + λ3 = 15.
4 L é diagonalizável.