79. Qual é a derivada de f(x) = x^2 e^{-x}? A) \(e^{-x}(2x - x^2)\) B) \(e^{-x}(x^2 - 2x)\) C) \(e^{-x}(x^2 + 2x)\) D) \(e^{-x}(2x + x^2)\)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^2 e^{-x} \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^2 \) e \( u'(x) = 2x \) - \( v(x) = e^{-x} \) e \( v'(x) = -e^{-x} \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2x)e^{-x} + (x^2)(-e^{-x}) \] Isso se simplifica para: \[ f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} \] Podemos fatorar \( e^{-x} \): \[ f'(x) = e^{-x}(2x - x^2) \] Agora, analisando as alternativas: A) \(e^{-x}(2x - x^2)\) - Correta. B) \(e^{-x}(x^2 - 2x)\) - Incorreta. C) \(e^{-x}(x^2 + 2x)\) - Incorreta. D) \(e^{-x}(2x + x^2)\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(e^{-x}(2x - x^2)\).