Qual é o valor de x na equação logarítmica log₂(x) + log₂(x-3) = 3? a) 6 b) 5 c) 8 d) 7

Para resolver a equação logarítmica \( \log_2(x) + \log_2(x-3) = 3 \), podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que \( \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) \). Assim, podemos reescrever a equação como: \[ \log_2(x(x-3)) = 3 \] Agora, para eliminar o logaritmo, elevamos 2 à potência de ambos os lados: \[ x(x-3) = 2^3 \] Isso simplifica para: \[ x(x-3) = 8 \] Agora, expandimos e rearranjamos a equação: \[ x^2 - 3x - 8 = 0 \] Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1 \), \( b = -3 \) e \( c = -8 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2} \] Calculando as duas soluções: 1. \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \) 2. \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{2} \) A solução \( x_2 \) será negativa, então não é válida para a equação logarítmica. Agora, precisamos verificar qual das opções dadas se aproxima de \( x_1 \). Calculando \( \sqrt{41} \) (aproximadamente 6.4): \[ x_1 \approx \frac{3 + 6.4}{2} \approx \frac{9.4}{2} \approx 4.7 \] Agora, analisando as opções: a) 6 b) 5 c) 8 d) 7 A opção que mais se aproxima de 4.7 é a b) 5. Portanto, a resposta correta é: b) 5.