Sendo A = [2 3; 3 2], escreva A−1 como produto de matrizes elementares.

Para encontrar a inversa da matriz \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \) como produto de matrizes elementares, vamos seguir os passos: 1. Formar a matriz aumentada: \[ [A | I] = \left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 2. Aplicar operações elementares para transformar \( A \) em \( I \): - Passo 1: Trocar a linha 1 pela linha 2 multiplicada por \( \frac{1}{3} \): \[ R_1 \leftarrow \frac{1}{3} R_1 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 3 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right] \] - Passo 2: Subtrair 3 vezes a linha 1 da linha 2: \[ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & -2 & 0 & 0 \end{array}\right] \] - Passo 3: Multiplicar a linha 2 por \( -\frac{1}{2} \): \[ R_2 \leftarrow -\frac{1}{2} R_2 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \] - Passo 4: Subtrair \( \frac{2}{3} \) vezes a linha 2 da linha 1: \[ R_1 \leftarrow R_1 - \frac{2}{3} R_2 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 3. Resultado: A matriz identidade foi obtida, e a matriz à direita é a inversa de \( A \): \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 4. Produto de matrizes elementares: As operações realizadas podem ser representadas como matrizes elementares. Assim, podemos escrever: \[ A^{-1} = E_1 E_2 E_3 E_4 \] onde \( E_1, E_2, E_3, E_4 \) são as matrizes elementares correspondentes a cada operação realizada. Portanto, a inversa \( A^{-1} \) pode ser expressa como o produto dessas matrizes elementares.