Sendo A = [3 0 −2; 0 1 0; 5 0 5], determine os valores de t ∈ R para os quais A− tI não é inverśıvel.

Para determinar os valores de \( t \in \mathbb{R} \) para os quais a matriz \( A - tI \) não é inversível, precisamos encontrar os valores de \( t \) que tornam o determinante de \( A - tI \) igual a zero. A matriz \( A \) é dada por: \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 5 \end{bmatrix} \] A matriz identidade \( I \) de ordem 3 é: \[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Portanto, \( A - tI \) é: \[ A - tI = \begin{bmatrix} 3 - t & 0 & -2 \\ 0 & 1 - t & 0 \\ 5 & 0 & 5 - t \end{bmatrix} \] Agora, calculamos o determinante de \( A - tI \): \[ \text{det}(A - tI) = (3 - t) \cdot (1 - t) \cdot (5 - t) \] Para que \( A - tI \) não seja inversível, precisamos resolver: \[ (3 - t)(1 - t)(5 - t) = 0 \] Os valores de \( t \) que satisfazem essa equação são: 1. \( 3 - t = 0 \) → \( t = 3 \) 2. \( 1 - t = 0 \) → \( t = 1 \) 3. \( 5 - t = 0 \) → \( t = 5 \) Portanto, os valores de \( t \) para os quais \( A - tI \) não é inversível são \( t = 1, 3, 5 \).