para qual valor a série \sum _{n=1}^{\infty }\:zn\:tal\:que\:zn\:=\:i\:\frac{1}{2^n}\:converge? a. 1 b. 2 c. i d. 0 e.

Para determinar para qual valor a série \(\sum_{n=1}^{\infty} z_n\) converge, onde \(z_n = i \frac{1}{2^n}\), vamos analisar a série. A série pode ser reescrita como: \[ \sum_{n=1}^{\infty} i \frac{1}{2^n} \] Podemos fatorar o \(i\) para fora da soma: \[ i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \] A série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) é uma série geométrica com razão \(r = \frac{1}{2}\), que converge para: \[ \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \] Portanto, a série original converge para: \[ i \cdot 1 = i \] Assim, a resposta correta é: c) \(i\).