Prove que f : R→ (−1, 1), f(x) = x√1 + x2 é uma bijeção.

Para provar que a função \( f: \mathbb{R} \to (-1, 1) \) dada por \( f(x) = x\sqrt{1 + x^2} \) é uma bijeção, precisamos mostrar que ela é injetora (um-para-um) e sobrejetora (cobre todo o intervalo). ### 1. Injetividade Para mostrar que \( f \) é injetora, precisamos provar que se \( f(a) = f(b) \), então \( a = b \). Suponha que \( f(a) = f(b) \): \[ a\sqrt{1 + a^2} = b\sqrt{1 + b^2} \] Dividindo ambos os lados por \( \sqrt{1 + a^2} \) e \( \sqrt{1 + b^2} \) (que são sempre positivos): \[ a = b \cdot \frac{\sqrt{1 + b^2}}{\sqrt{1 + a^2}} \] Como \( \sqrt{1 + x^2} \) é uma função crescente, isso implica que \( a = b \). Portanto, \( f \) é injetora. ### 2. Sobrejetividade Agora, precisamos mostrar que para todo \( y \in (-1, 1) \), existe um \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( f(x) = y \). Reescrevendo a função: \[ y = x\sqrt{1 + x^2} \] Isolando \( x \): \[ y^2 = x^2(1 + x^2) \implies y^2 = x^2 + x^4 \] \[ x^4 + x^2 - y^2 = 0 \] Essa é uma equação quadrática em \( x^2 \). Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4y^2}}{2} \] Para \( y \in (-1, 1) \), \( 1 + 4y^2 > 0 \), então sempre teremos soluções reais para \( x^2 \). Assim, existe um \( x \) para cada \( y \) em \( (-1, 1) \). ### Conclusão Como \( f \) é injetora e sobrejetora, podemos concluir que \( f \) é uma bijeção.