Para analisar a proposição "a equação 3x + 5y = n tem solução em (IN U (0)) e é verdadeira para todo n >= 8", vamos verificar se a equação tem soluções inteiras não negativas (x e y) para n = 8 e para valores maiores. 1. Para n = 8: - A equação 3x + 5y = 8 pode ser resolvida. Por exemplo: - Se x = 1, então 3(1) + 5y = 8 → 5y = 5 → y = 1. - Portanto, (x, y) = (1, 1) é uma solução. 2. Para n = 9: - 3x + 5y = 9. - Se x = 3, então 3(3) + 5y = 9 → 5y = 0 → y = 0. - Portanto, (x, y) = (3, 0) é uma solução. 3. Para n = 10: - 3x + 5y = 10. - Se x = 0, então 3(0) + 5y = 10 → y = 2. - Portanto, (x, y) = (0, 2) é uma solução. 4. Para n = 11: - 3x + 5y = 11. - Se x = 1, então 3(1) + 5y = 11 → 5y = 8 → y = 1.6 (não é inteiro). - Se x = 2, então 3(2) + 5y = 11 → 5y = 5 → y = 1. - Portanto, (x, y) = (2, 1) é uma solução. 5. Para n = 12: - 3x + 5y = 12. - Se x = 4, então 3(4) + 5y = 12 → 5y = 0 → y = 0. - Portanto, (x, y) = (4, 0) é uma solução. Seguindo esse raciocínio, você pode verificar que a equação 3x + 5y = n tem soluções inteiras não negativas para todos os n >= 8. Assim, a proposição é verdadeira.