Qual é a solução da equação diferencial d²y/dx² - 4y = 0? a) y = e^2x b) y = cos(2x) c) y = sen(2x) d) y = e^2x + e^(-2x)

Para resolver a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0 \), podemos começar encontrando a equação característica associada, que é: \[ r^2 - 4 = 0 \] Resolvendo essa equação, temos: \[ r^2 = 4 \] \[ r = 2 \quad \text{ou} \quad r = -2 \] As soluções gerais para essa equação diferencial são da forma: \[ y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. Analisando as alternativas: a) \( y = e^{2x} \) - Esta é apenas uma parte da solução geral. b) \( y = \cos(2x) \) - Não é uma solução da equação dada. c) \( y = \sen(2x) \) - Também não é uma solução da equação dada. d) \( y = e^{2x} + e^{-2x} \) - Esta é a forma correta da solução geral, pois representa a combinação das duas soluções exponenciais. Portanto, a alternativa correta é: d) \( y = e^{2x} + e^{-2x} \).