Qual é o resultado da integral definida de x^2 cos(x) dx de 0 a π/2? a) 0 b) π/2 c) π d) π/4

Para resolver a integral definida de \( x^2 \cos(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \), precisamos aplicar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é dada por: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \( u = x^2 \) (então \( du = 2x \, dx \)) - \( dv = \cos(x) \, dx \) (então \( v = \sin(x) \)) Aplicando a fórmula: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - \int 2x \sin(x) \, dx \] Agora, precisamos resolver a integral \( \int 2x \sin(x) \, dx \) novamente usando integração por partes. Escolhemos: - \( u = 2x \) (então \( du = 2 \, dx \)) - \( dv = \sin(x) \, dx \) (então \( v = -\cos(x) \)) Aplicando a fórmula novamente: \[ \int 2x \sin(x) \, dx = -2x \cos(x) + \int 2 \cos(x) \, dx = -2x \cos(x) + 2 \sin(x) \] Substituindo de volta na primeira integral: \[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \): \[ \left[ x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \] Calculando em \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ \left( \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 1 \right) = \frac{\pi^2}{4} - 2 \] Calculando em \( x = 0 \): \[ \left( 0 + 0 - 0 \right) = 0 \] Portanto, o resultado da integral definida é: \[ \frac{\pi^2}{4} - 2 \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode ter que revisar a questão ou as opções. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!