Para determinar a área máxima do retângulo localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta dada pela equação \(y = -\frac{3}{4}x + 3\), precisamos seguir alguns passos. 1. Identificar os vértices do retângulo: Vamos considerar que um vértice do retângulo está na origem (0,0) e os outros vértices estão nos eixos x e y, ou seja, (x, 0) e (0, y). 2. Encontrar a relação entre x e y: O vértice na reta pode ser expresso como (x, y), onde \(y = -\frac{3}{4}x + 3\). 3. Expressar a área do retângulo: A área \(A\) do retângulo é dada por \(A = x \cdot y\). Substituindo \(y\) na equação da área, temos: \[ A = x \left(-\frac{3}{4}x + 3\right) = -\frac{3}{4}x^2 + 3x \] 4. Maximizar a área: Para encontrar o valor de \(x\) que maximiza a área, derivamos \(A\) em relação a \(x\) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dx} = -\frac{3}{2}x + 3 = 0 \] Resolvendo, temos: \[ -\frac{3}{2}x + 3 = 0 \implies x = 2 \] 5. Encontrar o valor de \(y\): Substituindo \(x = 2\) na equação da reta: \[ y = -\frac{3}{4}(2) + 3 = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} \] 6. Calcular a área máxima: Agora, substituímos \(x\) e \(y\) na fórmula da área: \[ A = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \] Agora, precisamos verificar se a área máxima corresponde a alguma das alternativas dadas. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao valor 3. Portanto, parece que houve um erro na formulação da questão ou nas alternativas. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!