Calcule o valor de \( \int_1^2 (x^2 + 2x) \, dx \). a) \( 5 \) b) \( 6 \) c) \( 7 \) d) \( 8 \)

Para calcular o valor da integral \( \int_1^2 (x^2 + 2x) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 2x \): - A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). - A antiderivada de \( 2x \) é \( x^2 \). - Portanto, a antiderivada de \( x^2 + 2x \) é \( \frac{x^3}{3} + x^2 \). 2. Avaliar a antiderivada nos limites de 1 a 2: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1^2 \right) \] Calculando: - Para \( x = 2 \): \[ \frac{2^3}{3} + 2^2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \] - Para \( x = 1 \): \[ \frac{1^3}{3} + 1^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \] 3. Subtrair os resultados: \[ \frac{20}{3} - \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) \( 5 \) (que é \( \frac{15}{3} \)) b) \( 6 \) (que é \( \frac{18}{3} \)) c) \( 7 \) (que é \( \frac{21}{3} \)) d) \( 8 \) (que é \( \frac{24}{3} \)) Nenhuma das alternativas corresponde a \( \frac{16}{3} \). Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi calculada corretamente.