Se z = 2 + 2i, qual é o valor de z^4? A) -16 B) 16 C) 0 D) 8

Para calcular \( z^4 \) onde \( z = 2 + 2i \), vamos primeiro encontrar \( z^2 \): 1. \( z^2 = (2 + 2i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2i + (2i)^2 = 4 + 8i - 4 = 8i \). Agora, vamos calcular \( z^4 \): 2. \( z^4 = (z^2)^2 = (8i)^2 = 64i^2 = 64 \cdot (-1) = -64 \). No entanto, parece que não temos essa opção nas alternativas. Vamos verificar se houve algum erro. Vamos calcular \( z^4 \) diretamente: 3. \( z^4 = (2 + 2i)^4 \). Usando a fórmula de binômio de Newton ou expandindo, podemos fazer isso, mas uma maneira mais simples é usar a forma polar. 4. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de \( z \): - Módulo: \( |z| = \sqrt{2^2 + (2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). - Argumento: \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \). 5. Agora, na forma polar, \( z = 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{\pi}{4} \). 6. Então, \( z^4 = (2\sqrt{2})^4 \text{cis} (4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 16 \cdot 4 \text{cis} \pi = 64 \cdot (-1) = -64 \). Parece que houve um erro na interpretação das opções. Nenhuma das opções corresponde ao resultado correto de \( z^4 \). Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode querer revisar as alternativas.